Bewegungen in der Mechanik – Physik für Mediziner

Bild: “Old Cogs” von Emmanuel Huybrechts. Lizenz: CC BY 2.0

(Eine Übersicht über alle Parameter finden Sie unten.)

Bewegungen

Gleichförmige geradlinige Bewegung

Eine gleichförmige, geradlinige Bewegung ist definiert durch eine gleichbleibende Geschwindigkeit, bei der sich die Richtung nicht ändert, was bedeutet, dass in gleichen Zeitintervallen immer gleiche Strecken zurückgelegt werden. Die Beschleunigung ist hier gleich Null. Diese Form der Bewegung wird mit folgender Formel beschrieben:

v ⇒ Bahngeschwindigkeit [m/s]
s ⇒ Bogen (entspricht dem Weg) [m]
t ⇒ Zeit [s]

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Diese Form der Bewegung ist gekennzeichnet durch eine sich ändernde Geschwindigkeit. Das bewegte Objekt wird also schneller oder langsamer, woraus zu schließen ist, dass die Beschleunigung hier ungleich Null ist. Die Beschleunigung a ist während einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung konstant. Definiert wird diese Bewegung mit drei Gesetzmäßigkeiten:

Weg-Zeit Gesetz

Geschwindigkeit-Zeit Gesetz

a ⇒ Beschleunigung [m/s²]
v ⇒ Bahngeschwindigkeit [m/s]
s ⇒ Bogen (entspricht dem Weg) [m]
t ⇒ Zeit [s]

Diagramme

Die eben beschriebenen Bewegungen lassen sich in folgenden drei Diagrammen graphisch darstellen. Hierbei ist die gleichförmig, geradlinige Bewegung rot und die gleichmäßig beschleunigte Bewegung grün dargestellt.

Weg-Zeit Diagramm

Geschwindigkeit-Zeit Diagramm

Beschleunigung-Zeit Diagramm

Freier Fall

Die Bewegung des freien Falls passiert ausschließlich durch den Einfluss der Erdanziehungskraft, welche eine Beschleunigung von a = g = 9,81 m/s aufweist. Der freie Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, denn es gilt konstant die Erdbeschleunigung. Vernachlässigt man die Reibung der Luft und Auftrieb so erhält man folgende Gleichungen:g = 9,81 m/s
v ⇒ Bahngeschwindigkeit [m/s]
s ⇒ Bogen (entspricht dem Weg) [m]
t ⇒ Zeit [s]
h ⇒ Höhe

Gleichförmige Kreisbewegung

Die Richtung dieser Bewegung ändert sich in Richtung eines Kreises. Da die Geschwindigkeit ein Vektor ist, würden sich die verschiedenen Richtungen der Geschwindigkeit aufheben. Deshalb wird die gleichförmige Kreisbewegung mit dem konstanten Betrag der Geschwindigkeit definiert. Oder einfach ausgedrückt: Fahren Sie mit Ihrem Auto im Kreis und stellen Tempomat auf 50 km/h ein, so ist Ihre Beschleunigung konstant, ändert sich also nicht. Ihre Richtung ändert sich aber permanent.

ω ⇒ Winkelgeschwindigkeit [1/s]
α ⇒ Winkelbeschleunigung [1/s²]
a ⇒ Beschleunigung [m/s²]
v ⇒ Bahngeschwindigkeit [m/s]
s ⇒ Bogen (entspricht dem Weg) [m]
t ⇒ Zeit [s]
n ⇒ Drehzahl [1/s]
r ⇒ Radius
π ⇒ Kreiszahl (rund 3,14)

Periodische Bewegungen

Periodische Bewegungen sind zeitliche Veränderungen eines Systems oder einer physikalischen Größe um eine Ruhelage, bei denen sich jeder auftretende Bewegungszustand nach einer Periodendauer näherungsweise oder exakt wiederholt und wie folgt definiert wird.

T ⇒ Periodendauer in Sekunden [s]
f ⇒ Frequenz in Hertz [Hz]
ω ⇒ Winkelgeschwindigkeit [1/s]

Impuls und Kraft

Newtonsche Axiome

Axiom I: Gleichgewichtsbedingung

Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird.

Das heißt, unter den genannten Voraussetzungen ist die Geschwindigkeit eines Körpers konstant und kann nur durch die Einwirkung einer Kraft geändert werden.

Axiom II: Grundgleichung der Mechanik

Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.

Axiom III: Gegenwirkungsprinzip

Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).

Aktion = Reaktion

Impuls

Der Impuls ist eine gerichtete Größe, dessen Richtung parallel zur Bewegung eines Körpers liegt und den mechanischen Bewegungszustandes dieses Körpers beschreibt.

p ⇒ Impuls [kg * m/s], [N * s]
m ⇒ Masse [kg]

Impulserhaltungssatz

Der Impulserhaltungssatz beschreibt, dass sich alle Impulse innerhalb eines geschlossenen Systems, welches demnach keine Wechselwirkungen mit seiner Umgebung eingeht, konstant sind. Die Impulse von zwei gegeneinanderschlagenden Kugeln müssen vor und nach dem Stoß also gleich sein.

Kräfte

Kräfte verformen Körper, setzen sie in Bewegung oder beschleunigen sie. Die Kraft ist also eine verrichtende Arbeit, bei der sich die Energie des Körpers ändert. Die allgemeine Gleichung der Kraft ist wie folgt definiert:

F ⇒ Kraft [N], [kg * m/s²]
m ⇒ Masse [kg]
a ⇒ Beschleunigung [m/s²]

Es gibt verschiedenen Formen von Kräften, welche in folgenden Gleichungen dargestellt werden:

Kraft	Gleichung	Beschreibung
Gewichtskraft FG		Lotgerichtete (nach unten gerichtete) Kraft, die aufgrund von Erdanziehung wirkt. Die Erdbeschleunigung g ist ein fest definierter Wert: g = 9.81 m/s2
Auftriebskraft FA Schwimmen Sinken Steigen		Auftrieb in Flüssigkeiten; ρFl =Dichte der Flüssigkeit [kg/m³]; V = Volumen des Körpers, welcher sich in der Flüssigkeit befindet [m³]
Federkraft		Auslenkung einer Feder D; Federkonstante (Materialspezifische Konstante) [N/m]; ∆L = Länge/Ausdehnung der Feder [m]
Normalkraft		Senkrecht zur Auflagefläche eines Körpers wirkende Kraft. In einer waagerechten Ebene ist die Normalkraft gleich der Gewichtskraft. α = Winkel des der Normalkraft zum Lot
Tangentialkraft		Parallel zur Auflagefläche des Körpers wirkende Kraft
Haftreibungskraft		Kraft, die einer Bewegung eines Körpers entgegenwirkt. Abhängig von Material und Oberflächenbeschaffenheit der Körper, die sich berühren; μH = Haftreibungskoeffizient, einheitenlos
Gleitreibungskraft		Entgegengesetzte Kraft zweier aufeinander „gleitende“ Körper; μG = Gleitreibungskoeffizient, einheitenlos
Rollreibungskraft		Kraft, die benötigt wird, um einen rollenden Körper in Bewegung zu versetzen; μRoll = Rollreibungskoeffizient, einheitenlos. Der Einsatz von Schmiermitteln verringert die Reibungskoeffizienten. Entsprechend wird weniger Kraft benötigt, um eine Bewegung zwei aufeinander reibender Körper zu erzeugen.
Zentrifugalkraft		Durch die Trägheit eines sich drehenden Körpers vom Mittelpunkt des Kreises nach außen gerichtete Kraft. r = Kreisradius [m]; M = Masse des Körpers; ω = Winkelgeschwindigkeit [1/s]
Zentripedalkraft		Kraft, die vom äußeren Umfang eines Kreises zum Mittelpunkt wirkt, entgegengesetzt zur Zenrifugalkraft.
Coulombkraft		Beschreibt, wie stark sich zwei Körper oder Teilchen anziehen. Abhängig von Stärke der Ladung und Entfernung der Körper/Teilchen; ε0 = Elektrische Feldkonstante; εr = Dielektrizitätskonstante; Q1, Q2 Ladungen der beiden Körper [C]; r = Abstand vom Mittelpunkt der beiden Körper

 Kraftstoß

Der Kraftstoß ist definiert als die zeitliche Änderung des Impulses durch eine mittlere Kraft, welcher definiert ist als:

I^→ ⇒ Kraftstoß [kg * m/s]
F_av ⇒ Mittlere Kraft [N], [kg * m/s2]
p ⇒ Impuls
Δt ⇒ Dauer des Stoßes

Drehmoment, Trägheitsmoment, Drehimpulse

Massemittelpunkt

Der geometrische Mittelpunkt entspricht nicht immer dem Massemittelpunkt, da bei letzterem der Einfluss von Dichte (also der Einfluss der Masse eines Körpers) eine entscheidende Rolle spielt. Definiert wird er als Schwerpunkt eines Systems von beliebig vielen Massenpunkten A₀, A₁, A₂… A_n, die die gleiche Masse besitzen:

M_S Massemittelpunkt, einheitenlos

An den Massemittelpunkt (auch Schwerpunkt genannt) greift die Gewichtskraft. Der Schwerpunkt des menschlichen Körper liegt bei einem festen Stand beispielsweise im Hüftbereich. Allerdings variiert der Mittelpunkt je nach Bewegung und Körperhaltung und kann sogar in extremen Bewegungssituationen außerhalb des Körpers liegen.

Die Lage des Körperschwerpunktes bestimmt darüber, in welchem Gleichgewicht wir uns befinden. Man unterscheidet hierbei:

• Stabiles Gleichgewicht: Der Körper kehrt nach einer Auslenkung wieder in seine Ursprungslage zurück.
• Labiles Gleichgewicht: Nach einer Auslenkung wird sich der Körper, der sich vorher im Gleichgewicht befunden hat, mehr von diesem entfernen.
• Indifferentes Gleichgewicht: Der Körper nimmt eine neue Gewichtslage ein.

Drehmoment

Das Drehmoment bewirkt eine Rotation eines Körpers um eine Drehachse. Dabei ist es abhängig vom Abstand der Drehachse zum Angriffspunkt der Kraft. Kraft mal Kraftarm ist gleich Last mal Lastarm. Folgende Definition beschreibt das Drehmoment:

M ⇒ Drehmoment [N * m]

Trägheitsmoment

Ein ruhender/starrer Körper besitzt einen Widerstand. Wird dieser Körper durch eine Kraft in eine Rotationsbewegung versetzt wird, entsteht ein Trägheitsmoment, das vor allem abhängig von der Masseverteilung des Körpers im Bezug zur Drehachse ist.

J ⇒ Trägheitsmoment [kg * m²]
r ⇒ Rotationsachse
ρ ⇒ Masseverteilung

Drehimpuls

Der Drehimpuls wird umgangssprachlich auch als Drall oder Schwung bezeichnet. Er gibt die Richtung und den Schwung einer Drehung um eine Achse an und wird größer:

• je größer die Masse des Körpers ist.
• je höher die Geschwindigkeit des Körpers ist.
• je größer der Abstand zur Drehachse ist.

Er ist mit folgender Formel definiert:

Arbeit

W ⇒ Arbeit [J], [N * m]

Durch die Arbeit wird Energie von einem Körper auf einen anderen übertragen. Dadurch kann dieser entweder bewegt oder verformt werden. Wie auch bei der Kraft gibt es verschiedenen Formen der Arbeit, welche im Folgenden näher erläutert werden.

Arbeit	Gleichung	Beschreibung
Hubarbeit		Anheben eines Körpers; h = Höhe, die der Körper ausgehoben wird
Beschleunigungsarbeit		Beschleunigung eines Körpers durch schneller oder langsamer werden; s = Weg; FB = Beschleunigungskraft
Druck-Volumen-Arbeit		Das Volumen eines Fluids wird verkleinert durch Kompression (V2 < V1) oder vergrößert durch Expansion (V1 < V2)

 Energie

E ⇒ Energie [J], [N * m]

Energie ist ein fundamentaler Bestandteil des Lebens, denn sie sorgt dafür, dass Leben existiert, dass Objekte entgegen einer Kraft bewegt, Druck ausgeübt, Substanzen erwärmt werden, Druck auszuüben, Substanzen zu er-wärmen oder elektrischen Strom fließen zu lassen. Die zwei wichtigsten Formen der Energie sind wie folgt beschrieben:

Energie	Gleichung	Beschreibung
Potentielle Energie		Lageenergie, z.B. Energie, die ein Körper einer bestimmen Masse in einer bekannten Höhenlage hat; h = Höhe über dem Boden
Kinetische Energie		Bewegungs- oder Beschleunigungsenergie; ein Objekt wird aus der Ruhe heraus in Bewegung versetzt
Druck-Volumen-Arbeit		Das Volumen eines Fluids wird verkleinert durch Kompression (V2 < V1) oder vergrößert durch Expansion (V1 < V2)

Energieerhaltungssatz

Da es nicht möglich ist Energie zu erzeugen oder zu vernichten, ist die Energie in einem geschlossenen System immer konstant. Energieverlust kommt nur deshalb zustande, weil die zugeführte Energie umgewandelt (Bewegungsenergie zu Wärmeenergie) oder abgegeben werden kann (in Form von Wärmeabstrahlung). Dabei spielt die Definition eines geschlossenen Systems eine große Rolle und darf nur ohne Energie-, Informations- oder Stoffaustausch und ohne Wechselwirkung mit der Umgebung als solches benannt werden.

Leistung

P ⇒ Leistung [W], [J/s]

Die Leistung beschreibt, wie viel Energie in einem bestimmten Zeitraum umgesetzt wird und ist somit abhängig von der Zeit. Die verrichtete Arbeit bzw. die zugeführte Energie ist indirekt proportional zur Zeit. Das bedeutet, dass die Leistung bei einer konstanten Energie während der Zeit abnimmt.

 Zentraler Stoß

Δp ⇒ Stoß [(kg * m)/s]

Ein Stoß ist definiert als eine zeitliche Impulsänderung und wird mit folgender Gleichung beschrieben:
Man unterscheidet zwei Formen von Stößen:

• Elastischer Stoß: Erhaltung der kinetischen Energie
• Unelastischer Stoß: Umwandlung eines Teils der kinetischen in innere Energie

Stöße, bei denen zwei Körper beteiligt sind, deren Schwerpunkte sich auf einer Geraden bewegen, werden als zentrale Stöße bezeichnet.

Druck

Die Druckmessung erfolgt mittels eins sog. Manometers. Der Druck ist das Ergebnis einer Kraft, welche auf eine Fläche wirkt:

p ⇒ Druck [Pa], [N/m²]
A ⇒ Fläche [m²]
V ⇒ Volumen [m³], [l]

Boyle-Marionette-Gesetz

Das Boyle-Marionette Gesetz gilt für ideale Gase und besagt, dass diese bei einer Druckänderung indirekt proportional mit einer Volumenänderung reagieren. Wenn man also z.B. die Hälfte des Volumens aus einer Pressluftflasche lässt, dann ist der Druck in der Flasche nur noch ungefähr halb so groß. Es lässt sich auch mit folgender Formel beschreiben:

Übersicht der Parameter

Beliebte Prüfungsfragen zur Mechanik

Die Lösungen befinden sich unterhalb der Quellenangaben.

1. Ein Körper aus Platin taucht in ein Quecksilberbad, ein zweiter aus Aluminium in ein Wasserbad. Beide sind mit einem Faden über Umlenkrollen miteinander verbunden. Im Gleichgewicht taucht das Platin ganz ein, während der Aluminiumkörper mit der Hälfte seines Volumens über der Wasseroberfläche bleibt.
Dichten:
Platin: 21,5 g/cm³
Quecksilber 13,6 g/cm³
Aluminium: 2,7 g/cm³
Welchen Wert hat das Verhältnis Volumen(Aluminiumkörper)/Volumen(Platinkörper)?

1. 8
2. 4,6
3. 9,3
4. 3,6
5. 18

2. Eine Feder wird durch ein angehängtes Gewicht G1 um 50 mm gedehnt. Ein zusätzliches Gewicht G2 der Masse 30 g dehnt die Feder um zusätzliche 36 mm aus.
Mit welcher Kraft zieht G1 an der Feder?

1. 0,4 N
2. 72 g
3. 0,3 N
4. 0,7 N
5. 42 g

3. Welche der folgenden Aussagen ist/sind  falsch?

1. Bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung (Beispiel: freier Fall) nimmt die Beschleunigung linear mit der Zeit zu.
2. Wenn die Beschleunigung Null ist, ist auch die Geschwindigkeit Null.
3. Wenn der Betrag der Geschwindigkeit konstant ist, ist die Beschleunigung immer Null.
4. Wird ein Körper senkrecht zu seiner Bewegungsrichtung beschleunigt – mit konstantem Betrag der Beschleunigung –, so resultiert immer eine Kreisbahn.

1. Nur b,c,d
2. Nur c
3. Nur a
4. Alle außer d
5. Alle

Quellen

Romberg, Hinrichs: Keine Panik vor Mechanik; Vieweg-Teubner-Verlag; 8.Auflage, 1999

Hütte: Grundlagen der Ingenieurwissenschaften; Springer Verlag, 29.Auflage, 1989

Physik – Formeln und Gesetze; Taschenbuchverlag

Linder: Physikalische Aufgaben; Fachbuchverlag Leipzig-Köln, 1992

http://www.ubicampus.mh-hannover.de/~fahlke/MC/mc1.pdf

Lösungen zu den Fragen: 1D, 2A, 3E

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