Das Ziegenproblem – So entgehen Sie dem Zonk

Bild: von Daniel Oines. Lizenz: CC BY 2.0

Das ganze Leben ist ein Glücksspiel

1992 wurde in Deutschland eine Gameshow populär, die ihre Gäste mit einfach erscheinenden Entscheidungen herausforderte. So simpel der Spielablauf erschien, so sehr erhitzten sich nachfolgend die Gemüter über die optimale Lösungsstrategie. Menschen spielen gern und Menschen gewinnen gern – das weiß auch Jörg Draeger, Gameshow-Moderater des Spiels „Geh auf’s Ganze“.

Innerhalb von 10 Jahren wurde der Zonk 8500 Mal gezogen. 22000 Sachpreise im Wert von über 130 Millionen € wurden an über 20000 Kandidaten verteilt. Der Moderator Draeger wählte seine Kandidaten aus dem Publikum, die unter Toren, Kugeln oder Karten lediglich die richtige Wahl zu treffen brauchten. Der Moderator wusste stets, was sich hinter den Karten, Kugeln und Toren für ein Preis befand und griff in den Entscheidungsprozess der Kandidaten ein. Mal gab er Tipps, mal log er dem Kandidaten die Taschen voll, mal bot er Geld dafür, dass der Kandidat seine Entscheidung überdenke möge.

Drei Tore – wechseln oder bei der ersten Wahl bleiben?

Im Finale standen die Kandidaten vor drei Toren, hinter denen ein Hauptgewinn, ein mittlerer Gewinn und der Zonk warteten. Nach dem US-amerikanischen Vorbild hätten es eigentlich ein Hauptgewinn und zwei Ziegen sein müssen – die deutsche Gameshow war an dieser Stelle großzügiger. Trotzdem wollten über 11000 Kandidaten in den 10 Jahren „Geh auf’s Ganze“ stets nur den Hauptgewinn.

Nun zum Spiel: Alle drei Tore sind verschlossen, sodass nicht zu erkennen ist, was sich dahinter verbirgt. Als Kandidat werden Sie vor die Wahl gestellt, sich für ein Tor zu entscheiden. Das, was sich dahinter verbirgt, ist Ihr Gewinn. Der Ablauf:

• Der Kandidat entscheidet sich für Tor 1, Tor 2 oder Tor 3
• Der Moderator öffnet nun das Tor mit dem Zonk oder dem mittleren Gewinn – nie aber den Hauptgewinn
• Der Kandidat wird vor eine finale Entscheidung gestellt: Bei dem gewählten Tor bleiben oder auf das verbleibende Tor wechseln?

An dieser Stelle fragten sich Kandidaten und auch Experten: Was ist die optimale Strategie? Was ist besser: Tor wechseln oder beibehalten?

Oder macht es am Ende keinen Unterschied?

Der „Fifty-Fifty-Denkfehler“

Fassen wir noch einmal kurz zusammen: Zuerst hatten Sie drei Tore, wobei sich hinter einem Tor davon der Hauptgewinn verbirgt. Nun haben Sie nur noch zwei und hinter einem davon ist immer noch der Hauptgewinn und entweder der Zonk oder der mittlere Gewinn.

Ein typischer Denkfehler ist nun, die Chance, mit der sich der Hauptgewinn hinter dem gewählten Tor befindet, als „Fifty-Fifty“ zu sehen. Demnach wäre Ihre Entscheidung beliebig und Sie könnten wechseln oder bei Ihrer bisherigen Wahl bleiben. Der Rest wäre dann Glückssache.

Stimmt nicht, haben Mathematiker und Statistiker bewiesen. Die Wahrscheinlichkeit, mit der sich das Auto hinter dem anderen, zuvor nicht gewählten Tor befindet, ist höher.

Bleiben Sie bei der initialen Wahl, gewinnen sie das Auto mit 1/3 also ca. 33% Wahrscheinlichkeit. Doppelt so häufig, also mit 2/3 oder ca. 66% Wahrscheinlichkeit gewinnen Sie das Auto jedoch, wenn sie das Tor wechseln. Wie kann das sein?

Zweimal Zonk und ein Porsche Cayenne

Zugegeben, es ist nicht sofort verständlich, warum sich die Wahrscheinlichkeit nicht an den Wahlmöglichkeiten orientiert. Machen wir es anhand des folgenden Beispiels deutlicher.

Wenn der Hauptgewinn ein Porsche Cayenne wäre und Sie ein Fan des Motorsports, dann würden Sie wohl auch den mittleren Gewinn (vielleicht eine Reise nach Mallorca) als Zonk betrachten.

Werfen wir ein Blick auf die Grafik und schauen uns die Gewinnchance bei der initialen Wahl an. Sie liegt exakt bei 1/3 bzw. circa 33%.

Angenommen, Sie wählen Tor 1. Der Moderator, der weiß, hinter welchen Toren sich die Zonks befinden, öffnet Tor 3. Hinter Tor 3 befindet sich natürlich ein Zonk! Sie haben Glück, Ihr Porsche ist noch unter den möglichen Gewinnen. Nun wissen Sie: Hinter dem von Ihnen gewählten Tor ist entweder Ihr Traumauto oder der Zonk. Dasselbe gilt natürlich auch für Tor 2.

Zwar kommt Tor 3 nicht mehr als Lösungsalternative in Betracht. Doch es wäre falsch das Entscheidungsproblem nun auf nur zwei Wahlalternativen zu reduzieren. Die Grafik zeigt: Wenn Sie grundsätzlich wechseln, dann verdoppelt sich Ihre Gewinnchance im Vergleich zu Ihrer ersten Wahl. Nur wenn Sie zufällig bei der ersten Wahl das richtige Tor wählen, scheitert die Wechselstrategie.

Warum die Lösung nicht immer funktioniert

Die einfachste Lösung heißt daher: Wechseln Sie immer! Sie gewinnen damit doppelt so oft wie Spieler, die bei ihrer ersten Wahl verharren.

Wenn der Spielmoderator diese Spielvariante jedoch einberechnet, wird er dafür sorgen, dass der Teilnehmer in seiner Wahlentscheidung trotzdem verunsichert wird. Genau dies macht den Reiz des Spieles aus, mit dem Jörg Draeger über ein Jahrzehnt hinweg so erfolgreich sein Publikum verzauberte. Übrigens, der Zonk wurde 2004 zu den nervigsten Dingen der 90’er gewählt – keine wirkliche Überraschung, oder?