Das Simpson-Paradoxon: Glauben Sie nur einer Statistik, die Sie selbst gefälscht haben

Bild: “ABCD-Auswertung” von Oliver Tacke. Lizenz: CC BY 2.0

Gedanke 1: Was relativ ist, muss nicht absolut wahr sein

Wenn selbst unsere Bundeskanzlerin Probleme mit der Unterscheidung von Brutto und Netto zu haben scheint, wie kann von Ihnen verlangt werden, stets korrekt zwischen relativen und absoluten Werten zu differenzieren?

Absolute Werte kommen im Alltag an jeder Ecke vor. Sie kaufen fünf Bananen, fahren 100 km/ h oder sehen, wie Thomas Müller einen Ball aus 27 Metern versenkt. Diese festen Werte stehen für sich und sind ohne Bezug zu weiteren Größen gültig. Sie erlauben eine klare Aussage über Tatsachen des täglichen Lebens.

Anders sieht es in Bezug auf relative Werte aus. Diese stehen immer in Zusammenhang mit anderen Werten und repräsentieren eine Gesamtmenge. Sie können zum Beispiel sagen, dass Sie heute weniger Bananen als letzte Woche gekauft haben oder ein ICE schneller als ein Auto fährt. Wenn Sie vergleichen möchten, welchen Anteil Ihr Relativwert an der Gesamtmenge hat, dann tun Sie dies in der Regel durch prozentuale Aussagen.

Die Gesamtmenge trifft auf 100 von 100 Fällen, also zu 100 % zu, während der Ball von Müller vielleicht nur aus 30 % der Entfernung des bislang weitesten Tores geschossen wurde. Und gerade hierin liegt ein häufiger Fehler: Möchten Sie mit Relativwerten rechnen, müssen Sie immer die Gesamtmenge im Auge behalten.

Sie können nicht einfach 20 % + 50 % = 70 % rechnen, wenn sich die 20 % auf 100 Autos und die 50 % auf 200 Autos bezogen haben. Darüber hinaus ist es offensichtlich, dass 20 % mal 50 % keineswegs 1000 % ist, während dies für die gleiche (absolute) Menge an Bananen zweifellos zutrifft.

Gedanke 2: Manchmal haben die kleinen Dinge großen Einfluss

Stellen Sie sich vor, Sie bewohnen mit zwei Freunden eine einsame Insel. Ganz demokratisch kommt es jeden Tag zu Abstimmungen über die Herausforderungen eines solchen Abenteuers. Fast immer setzt sich die eine Seite mit zwei von drei Stimmen, also 67 %, durch.

In der „großen“ Politik unserer Welt wäre dies ein unglaublich beeindruckendes Ergebnis, mit dem Sie sogar unser Grundgesetz ändern dürften. Allerdings fühlt sich Ihre kleine Abstimmung irgendwie nicht ganz fair an, gab doch am Ende ein einziger Ihrer Freunde den Ausschlag gegen Ihre Idee. Demokratie funktioniert bei drei Personen nicht.

Was hier 67 % waren, sind dort auf dem Papier ebenso 67 %. Wenn Sie diese beiden Prozentpunkte ohne die nötige mahnende Anmerkung identisch bewerten, haben Sie Äpfel mit Birnen verglichen und Ihre Zuhörer vorsätzlich oder fahrlässig getäuscht. Eine kleine Datenmenge unterliegt immer immensen statistischen Schwankungen und kann nicht mit einer anderen, vielleicht sogar grundlegend anders erhobenen Datenmenge verglichen werden.

Gedanke 3: Wie ein Medikament heilen kann oder auch nicht

Um Ihnen das Simpson-Paradoxon näher zu bringen, betrachten wir doch einfach ein klassisches Schulbeispiel, das Edward Hugh Simpson in seiner Publikation von 1951 verdeutlicht:

Sie bringen ein neues Medikament auf den Markt, dessen Wirksamkeit Sie nun in Feldstudien testen. Sie kommen zu der erschütternden Einsicht, dass 60 % der Männer zwar geheilt werden konnten, aber in einer Placebo-Vergleichsgruppe 70 % der Männer auch ohne Medikament wieder gesund wurden. Bei den Frauen wurden sogar nur 20 % gesund, dagegen 30 % in der Vergleichsgruppe. Würden Sie das Medikament trotzdem auf den Markt bringen? Oder haben Sie hier möglicherweise wieder Äpfel mit Birnen verglichen?

Die Unterscheidung zwischen Männern und Frauen ergibt durchaus Sinn, wenn sie nicht sogar notwendig ist. Doch betrachten Sie die absoluten Werte hinter den verschleiernden Prozenten, lässt sich das Problem vielleicht bereits erahnen: Bei den Männern gesundeten 18 von 30 Personen mit dem Medikament und 7 von 10 ohne. Bei den Frauen lag eine umgekehrte Gesamtmenge vor: Nur 10 Frauen erhielten das Medikament, von denen 2 eine Heilung erreichten, während von den 30 Frauen mit dem Placebo 9 von Ihrem Leiden erlöst wurden.

Hätten die Ärzte hier eine Gleichverteilung der Grundmengen angestrebt, wäre ihnen das paradoxe Ergebnis erspart geblieben – nämlich dass aufgrund der Addition sämtlicher Probandenzahlen 50 % der Menschen mit Medikament, aber nur 40 % ohne Wirkstoff geheilt wurden. 20 von 40 gegenüber 16 von 40 Personen!

Das Medikament sollte also auf den Markt gebracht werden. Oder nicht? Entscheiden Sie selbst, denn beide Berechnungswege sind statistisch gesehen vollkommen korrekt und begründen so das berühmte Simpson-Paradoxon.

Gedanke 4: Auf die Gewichtung kommt es an

Sie sehen also: Relative Werte haben immer ihre eigene Geschichte. Nur wenn Sie die Grundmenge im Auge behalten und Ihre Werte richtig aufeinander abstimmen und gewichten, können Sie ohne Mühe gesicherte statistische Erkenntnisse erhalten.

Im Fall der Medikamentenstudie wurde keineswegs falsch gearbeitet, es wurden nur schlicht und ergreifend die falschen Schlüsse gezogen. Bei dieser Sachlage kann die Entscheidung über die Einführung nicht aus der Statistik, sondern allein aus kausalen Zusammenhängen gefällt werden. Wie kann ein Medikament sowohl bei Männern als auch bei Frauen wirkungslos sein, bei allen Menschen zusammengenommen jedoch wirksam?

Dieses Paradox lässt sich formal über die Betrachtung verschieden gewichteter, bedingter Wahrscheinlichkeiten erklären, kann Ihren Alltagsverstand aber zum Dampfen bringen. Überprüfen Sie stets, ob Differenzierungen eine logische Begründung aufweisen.

Hätten Sie in der Studie sinnlos Hunde- und Katzenhalter verglichen, müssten Sie dem Resultat der addierten Werte vertrauen. Bei Krankenkassen etwa erfolgt daher sinnvollerweise ein Risikostrukturausgleich, durch den schwer Erkrankte zu Behandlungen zugelassen werden, die bei der Allgemeinheit erwiesenermaßen keinen Erfolg bringen.

Gedanke 5: Lassen Sie sich nicht für dumm verkaufen!

Wenn Sie jetzt ein wenig sensibilisiert sind für den korrekten Umgang mit Prozentwerten und Ihren Blick auf die verschiedenen Grundmengen geschärft haben, werden Sie Statistiken anders betrachten. Sie erkennen die vielen Halbwahrheiten, mit denen Politiker ihr Handeln rechtfertigen und sich bewusst auf die eine oder andere Seite des Paradoxons schlagen – und den Rest unter den Tisch fallen lassen.

Wenn eine Sozialstudie in Berlin-Neukölln Erschreckendes offenbart, müssen deshalb nicht deutschlandweit persönliche Freiheiten durch verstärkte Sicherheitsmaßnahmen eingeschränkt werden.

Ein abschließendes Beispiel wird Ihnen verdeutlichen, wie trügerisch Statistiken wirklich sein können: In Afrika ist Ebola ausgebrochen. Sie sitzen in einer Quarantänestation mit 100.000 Personen, von denen sich statistisch gesehen nur 0,1 % infiziert haben. Das klingt erleichternd. Da Sie jetzt Ahnung von relativen Werten haben, erkennen Sie schnell, was dies bedeutet: Jeder Tausendste hat sich angesteckt – immerhin 100 Personen um Sie herum.

Auf einmal bekommen Sie ein mulmiges Gefühl. Sie werden zu einem Test geschickt, der zu 99 % korrekt ist. Hört sich richtig gut an. Doch anders ausgedrückt, wird gleich von den 100 tatsächlich Erkrankten eine Person irrtümlich nach Hause geschickt und ohne Behandlung qualvoll sterben. Hoffentlich sind Sie das nicht. Aber Sie können erahnen, welche der beiden Sichtweisen ein und desselben Sachverhaltes Ihnen der behandelnde Arzt auftischen wird.

Fazit

Im weiten Feld der Statistik spielen also nicht immer nur blanke Zahlen eine Rolle. Das Simpson-Paradox ist ein schönes Beispiel dafür, dass bei der Analyse statistischer Daten immer auch Kausalzusammenhänge einbezogen werden müssen. Wird dies nicht getan und falsch gewichtet, drohen fehlerhafte Vergleiche nur scheinbar zusammenhängender Größen.

Des Weiteren wird Ihnen aufgefallen sein, wie einfach sich Statistiken je nach Interessenlage in die eine oder andere Richtung drehen lassen, ohne dabei formal fehlerhaft zu sein.