Inverse Matrix von Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger

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Über den Vortrag

Der Vortrag „Inverse Matrix“ von Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger ist Bestandteil des Kurses „Lineare Algebra für Wirtschaftswissenschaftler II“. Der Vortrag ist dabei in folgende Kapitel unterteilt:

  • Inverse einer Matrix
  • Input- Output Relationen
  • Übungsaufgaben

Quiz zum Vortrag

  1. Eine Dreiecksmatrix ist stets invertierbar.
  2. Eine Matrix mit einer Nullspalte kann invertierbar sein.
  3. Nur quadratische Matrizen können invertiert werden.
  4. Die Inverse der Einheitsmatrix ist die Einheitsmatrix selbst.
  1. A^-1 * A = 1
  2. Im Raum IR^n muss rg(A) = n gelten.
  3. (A * B)^-1 = A^-1 * B^-1
  4. (A * B)^-1 = A^-1 * B
  1. ...muss sie zunächst mit der Einheitsmatrix erweitert werden.
  2. ...muss sie zunächst zu einer Einheitsmatrix umgeformt werden.
  3. ...muss sie mit dem Pivotelement multipliziert werden.
  4. ...muss zunächst der Gauß-Algorithmus durchgeführt werden.
  1. ...gibt gibt es keine inverse Matrix A^-1
  2. ...ist der Rang der Matrix 2.
  3. ...gilt die Matrix als regulär.
  4. ...handelt es sich um eine quadratische, invertierbare Matrix.
  1. (Einheitsvektor - Direktbedarfsmatrix) * Produktionsvektor
  2. (Einheitsvektor + Direktbedarfsmatrix) * Produktionsvektor
  3. (Einheitsvektor * Direktbedarfsmatrix) + Produktionsvektor
  4. (Einheitsvektor - Direktbedarfsmatrix) / Produktionsvektor
  1. q-y
  2. y-q
  3. P-y
  4. y-P
  1. DIe Gleichungen nach einer Variablen auflösen.
  2. Die variablen alphabetisch sortiert auf die Linke Seite bringen.
  3. Die Koeffizientenmatrix erstellen.
  4. Die Konstanten auf die rechte Seite bringen.

Dozent des Vortrages Inverse Matrix

Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger

Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger

Rolf Stahlberger hat Mathematik, Betriebswirtschaftslehre und Volkswirtschaftslehre in Karlsruhe und Hagen studiert. Er hat langjährige Erfahrung als Dozent und Mentor in Vor-Ort Seminaren sowie Webinaren. Schwerpunkte seiner Forschung liegen bei Operations Research und dem Wirtschaftsingenieurwesen.

Weitere Informationen unter www.mathepress.de und www.fernstudium-guide.de

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Auszüge aus dem Begleitmaterial

... Dann heißt die Matrix A „regulär“. 3. Alle Spalten müssen also linear unabhängig sein. - Eine Matrix mit einer Nullzeile oder Nullspalte ist niemals invertierbar. - Die obere Dreiecksmatrix kann invertierbar sein, wenn sie quadratisch ist und regulär. - Die untere Dreiecksmatrix kann invertierbar sein, wenn sie quadratisch ist und regulär. - Die Diagonalmatrix ist invertierbar, wenn das Nullelement nicht in der Diagonalen vorkommt. - Die Skalarmatrix ist invertierbar, wenn das Nullelement ...

... Einheitsmatrix dort steht, wo zuerst die Matrix A stand. Im Feld der Einheitsmatrix lese die Inverse A-1 ab. Beispiel: Es soll die nachfolgende Matrix A invertiert werden. Dazu erweitere zuerst die Matrix, indem rechts daneben die Einheitsmatrix eingefügt wird. A= 201 311 422 → 201 311 422 100 010 001 Das Pivotelement ist die Zahl „2“ in der ersten Zeile. Teile ...

... Wenn eine Nullzeile oder Nullspalte vorhanden ist, hat die Matrix nie vollen Rang und ist damit auch nicht regulär invertierbar. Durch Division der 2.Zeile ...

... G= 00 00 H= x000 0x00 00x0 000x nicht invertierbar. Es muss immer eine quadratische Matrix vorliegen, will man diese invertieren. Nicht invertierbar. Wenn eine Nullzeile oder Nullspalte vorhanden ist, ist die Matrix nicht regulär. Invertierbar für x ungleich Null. ...

... Die Matrix A = hat jedoch drei linear unabhängige Spalten wenn a ungleich Null ist, hat also den Rang 3: Zudem handelt es sich um eine 3x3 Matrix, sie ist also quadratisch. Damit ist die Aussage A) wahr, denn es existiert eine Inverse zur Matrix A, es gilt also aaa 0aa 00a aaa 0aa 00a −1 = 100 010 001 ...

... um eine Abwandlung der vorherigen Aufgabe. Wieder errechnen wir die Inverse zu. Dieses Mal ist die Aussage jedoch falsch, denn a muss größer als Null sein. Wahr wäre die Aussage dann, wenn a gleich Null wäre, unentscheidbar wäre die Aussage dann, ...

... Matrix ist nicht regulär, da Rang(A) = 2. Die dritte Spalte ergibt sich aus dem vierfachen der ersten Spalte ...

... Wie viele Bananen und Erdbeeren benötigt man, um 10 kg Obstsalat und 5 Obstkuchen zu fertigen? Obstsalat (P1) Bananen (R1) 10kg, 3 Stück, 5 Kuchen, 2 Stück, 0,5kg Obstkuchen (P2) Erdbeeren (R2)1kg R= 2Stück3Stück 0,5kg1kg Rohstoffverbrauchsmatrix: z.B. Zur Herstellung eines kg Obstsalats (P1) sind 2 Bananen notwendig. v=R⋅q v= 2Stück3Stück 0,5kg1kg ...

... Lösung: Prüfe den Rang der Matrix, die man erhält, wenn man alle ...

... Die drei Vektoren sind linear unabhängig und bilden eine Basis des IR3. Das 2-fache der 1.Zeile zur 3.Zeile hinzuaddieren. Das 3-fache der 2.Zeile zur 3.Zeile hinzuaddieren. Gegeben seien die folgenden beiden Vektoren a und b. Mit welchem Vektor c bildet die Menge (a,b,c) eine Basis des IR3? Lösung: Prüfe den Rang der Matrix, die man erhält, wenn man alle drei Vektoren zu einer ...

... Basis des IR2 enthält zwei linear unabhängige Vektoren des IR2. Das ist hier nicht der Fall, denn es gilt beispielsweise: 0⋅ 100 12 +14⋅ 0 0 = 0 0 3.) 100 −12 −4, 50 6 2, −2 ...

... Eine Basis des IR3 enthält drei linear unabhängige Vektoren des IR3. Das ist hier nicht der Fall, denn das zweifache des zweiten Vektors entspricht dem ersten Vektor. Damit gilt also z.B. 1⋅ 100 12 4 +−2 () 50 6 2 +0⋅ −2 7 3 = 0 0 0 5.) 0 1 −3 ...

... Die Probe liefert die Richtigkeit der Lösung: 3⋅48−3⋅81+10⋅10=144−243+100=1 0⋅48−1⋅81+9⋅10=−81+90=9 7⋅48−3⋅81−10⋅10=336−243−100=−7 2. Das LGS ist mehrdeutig lösbar. - Falsch! Es gibt nur eine Lösung, so dass die obigen drei Gleichungen „wahr“ werden. Also hat das LGS nicht mehrere ...

... alle Matrizen gleicher Ordnung gilt: A + B - C = B + A -C = -C + B + A 4.) Die transponierte Matrix einer transponierten Matrix entspricht der Matrix. 5.) Zu jeder regulären Matrix gibt es eine Inverse 6.) Sei A invertierbar. Dann gilt 7) Für alle invertierbaren Matrizen A und B gilt, dass ist. 8.) Die Matrixmultiplikation ist nur dann durchführbar, wenn die Zeilenzahl ...

... Matrix gibt es eine Inverse. richtig! Regulär bedeutet, dass die Matrix vollen Rang hat, damit muss die Matrix auch quadratisch sein. 6.) Sei A invertierbar. Dann gilt richtig! Es ist egal, ob zuerst die inverse Matrix steht und dann anschließend A, oder umgekehrt. Ax= a 1j x j j=1 n ∑ ... a mj x j j=1 n ...

... selbst wenn zwei gleicher Ordnung Matrizen invertierbar sind, muss die obige Aussage nicht gelten: Beispiel: A⋅B=B⋅A A= 10 01 B= 100 010 001 A= 40 23 ⇒A −1 = 1 4 0 − 1 6 1 3 ...

... Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile (gilt auch für das Vielfache einer Zeile) - die Addition einer Spalte zu einer anderen Spalte (gilt auch für das Vielfache einer Spalte) 11.) Zu jeder quadratischen Matrix existiert eine ...

... Die Koeffizienten werden zeilenweise durch Division durch den ggT ganzzahlig gemacht. 0117 - 233 - 300 - 3 - 24. Da das Diagonalenfeld in der 1. Zeile 0 ist, tausche die 1. und die 2. Zeile: - 233 - 3011700 - 3 - 24. Alle übrigen Zeilen haben in der 1. Spalte bereits eine 0. Mit der ...

... Von der 4. Zeile wird die 1. Zeile subtrahiert: 110 - 26030 - 2 - 2604 - 3 - 4 - 11010 - 212. Mit der 2. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 2. Spalte auf 0 gebracht. Vom Dreifachen der 1. Zeile wird die 2. Zeile subtrahiert: 300 - 444030 - 2 - 2604 - 3 - 4 - 1100 - 212. Zum Dreifachen der 3. Zeile wird das 4-fache der ...

... in der 3. Spalte bereits eine 0. Mit der 4. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 4. Spalte auf 0 gebracht. Von der 1. Zeile wird die 4. Zeile subtrahiert: 3000 - 18030 - 2 - 2600 - 9 - 471000 - 462. Vom Doppelten ...

... Mit der 2. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 2. Spalte auf 0 gebracht. Zur 3. Zeile wird das 4-fache der 2. Zeile addiert: - 20 - 1101019001 - 19. Mit der 3. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 3. Spalte auf 0 gebracht. ...

... Stelle die Koeffizientenmatrix auf. Reihenfolge der Variablen: d, y, Konstante - 4344 - 2 - 8. Durch Division der 1. Zeile durch -4 wird das Diagonalelement zu 1 gemacht: 31 - 14 ...