Partielle Integration
Über den Vortrag
Der Vortrag „Partielle Integration“ von Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger ist Bestandteil des Kurses „Analysis für Wirtschaftsmathematik III“. Der Vortrag ist dabei in folgende Kapitel unterteilt:
- Partielle Integration
- Substitutionsregel
Quiz zum Vortrag
Welche Aussagen zur partiellen Integrationsregel ∫ u´(x) * v(x) dx = u(x) * v(x) - ∫ u(x) * v´(x) dx sind richtig?
- Das verbleibende Integral muss einfacher zu berechnen sein als das Ausgangsintegral.
- Die Funktion v(x) muss leicht integrierbar sein.
- Man wählt immer jene Funktion als v´(x), von der man die Stammfunktion kennt.
- Es muss ∫ [u(x) * v(x)]´ = u´(x) * v(x) gelten.
Wenn Sie die Stammfunktion einer e-Funktion bestimmen wollen, dann...
- ...müssen Sie die e-Funktion als u´(x) definieren.
- ...bleibt die e-Funktion nach ihrer Ableitung gleich.
- ...müssen Sie die e-Funktion als v(x) definieren.
- ...bleibt die Funktion u(x) nach ihrer Ableitung gleich.
Was müssen Sie beachten, wenn Sie eine partielle Ableitung für einen natürlichen Logarithmus durchführen?
- Der natürliche Logarithmus muss als v(x) definiert werden.
- Der andere Teil der Funktion muss als u´(x) definiert werden.
- Der natürliche Logarithmus muss als u´(x) definiert werden.
- Der andere Teil der Funktion muss als v(x) definiert werden.
Was muss für die Anwendung der Substitutionsregel gelten?
- ∫ f(g(t)) * g´(t) dt = ∫ f(x) dx
- ∫ f(g(t)) * g´(t) dt = ∫ F(x) dx
- ∫ f(g(t)) * g(t) dt = ∫ f(x) dx
- ∫ F(g(t)) * g´(t) dt = ∫ f(x) dx
Welche Aussagen über die Gleichung ∫ f(g(t)) * g´(t) dt = ∫ f(x) dx sind falsch?
- g(t) stellt den äußeren Term dar.
- f(g(t)) stellt den inneren Term dar.
- g(t) stellt den inneren Term dar.
- f(g(t)) stellt den äußeren Term dar.
Welche Aussagen zur Kettenregel stufen Sie als korrekt ein?
- In Worten bedeut die Kettenregel: "Äußere Ableitung mal innere Ableitung".
- Für die Funktion f(x) = u(v(x)) muss laut der Kettenregel f′(x) = u′(v(x))·v′(x) gelten.
- Die Kettenregel leitete sich aus der Substitutionsregel ab.
- Mit der Kettenregel lässt sich eine Stammfunktion F(x) bilden.
Für die formale Herleitung der Substitutionsregel muss...
- ...f(g(t)) = F´(g(t)) gelten.
- ...f(g(t)) = F(g(t)) gelten.
- ...f(g(t)) = F´(x) gelten.
- ...f(g(t)) = F(x) gelten.
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Dozent des Vortrages Partielle Integration
Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger
Rolf Stahlberger hat Mathematik, Betriebswirtschaftslehre und Volkswirtschaftslehre in Karlsruhe und Hagen studiert. Er hat langjährige Erfahrung als Dozent und Mentor in Vor-Ort Seminaren sowie Webinaren. Schwerpunkte seiner Forschung liegen bei Operations Research und dem Wirtschaftsingenieurwesen.
Weitere Informationen unter www.mathepress.de und www.fernstudium-guide.deKundenrezensionen
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Auszüge aus dem Begleitmaterial
... als das Ausgangsintegral, kann die Regel der Partiellen Integration sinnvoll verwendet werden. 2. Man wählt immer jene Funktion als u´(x), von der man die Stammfunktion kennt. v(x) im Gegensatz muss „leicht“ ableitbar sein. Gegeben ...
... Ausgangsintegral. Man definiert die e-Funktion als u(x) und v(x) = x. Dazu ist wichtig zu wissen, dass die e-Funktion nach der Ableitung „ gleich“ bleibt. Zudem muss das verbleibende Integral „einfach“ zu ...
... ⋅ln(2x)− 1 5 ⋅ x 5 2x ⋅2 ∫ dx = 1 5 x 5 ⋅ln(2x)− 1 5 ⋅ x 4 2 ⋅2 ∫ dx = 1 5 x 5 ⋅ln(2x)− 1 5 x 4 ∫ dx = 1 5 x 5 ⋅ln(2x)− 1 5 ⋅ 1 5 x 5 ...
... −x x+2⋅e −x −e −x ⋅2x ∫ dx=2⋅e −x ⋅x+1 () gesucht:−e −x ⋅2x ∫ dx u´(x) = −e −x v(x) = 2x −e −x´=−−e −x = e −x. Beachte: 587. Integralrechnung -> 7.3 Partielle Integration -> ...
... dx = −cosx⋅x+cosxdx ∫ sinx⋅x ∫ dx = −cosx⋅x+sinx [] weil sinx [] ´ = cosx gesucht: x⋅sinx ∫ dx u´(x) = sinx v(x) = x 597. Integralrechnung ...
... -> 7.3 Partielle Integration -> Beispiel 5. Zu bestimmen ist die Stammfunktion der nachfolgenden Funktion. Unter Verwendung der ...
... ∫ dx= 1 2 x 2 ⋅logx− 1 2 xdx ∫ x⋅logx ∫ dx= 1 2 x 2 ⋅logx− 1 2 ⋅ 1 2 x 2 x⋅logx ∫ ...
... = 1 2 e 2 − 1 2 ⋅e 0 ⋅0 − 1 2 ⋅ 1 2 e 2 − 1 2 e 0 = 1 2 e 2 − 1 2 ⋅ 1 2 e 2 − 1 2 = 1 2 e 2 − 1 4 e 2 ...
... zu bestimmen, sucht man nach dem äußeren Term und dem inneren Term, ersetzt den inneren Term durch x und erhält: lnt () 2 ⋅ 1 t a b ∫ dt=F(g(t)) [] a b = 1 3 (lnt) 3 a b 647. Integralrechnung -> 7.4 Substitutionsregel F(g(t)) = 1 3 (lnt) 3 = 1 3 x 3 ...
... von f(x) ist, so gilt: Dann kann man integrieren: F(x) = F(g(t)), x = g(t)F´(x) = F´(g(t))⋅g´(t) f(g(t))⋅g´(t) ∫ dt = F´(g(t))⋅g´(t) ∫ dt = ...
... man das Integral mit der Substitutionsregel an, erhält man: Damit ist die Stammfunktion gegeben zu . Die Probe zeigt, dass wir richtig gerechnet haben: f(g(t)) = e t 4 = e x g(t) = t 4 ...
... sei das folgende Integral. Nun kann man den inneren Term und den äußeren Term identifizieren und erhält: Setzt man das Integral mit der Substitutionsregel an, erhält man: Damit ist die Stammfunktion gegeben zu ...
... 1 ∫ dt f(g(t))⋅g´(t) ∫ dt = f (x) ∫ dx Seif(g(t)) = 1 1−t 2 = 1 x mit g(t) = 1−t 2 = x f(g(t))⋅g´(t) ∫ dt = 1 1−t 2 ⋅1−t 2 () ´ ∫ dt = 1 x ∫ dx = x − 1 2 ∫ dx = 1 − 1 2 +1 x − 1 2 +1 0 1 = 1 1 2 x 1 2 ...
... −b 6 −e −0 6 () +e −0 6 −lim a→−∞ e −a 6 () () = − 1 6 ⋅lim b→∞ e −b 6 −1 () +1−lim a→−∞ e −a 6 () () =− 1 6 ⋅lim b→∞ 1 e b 6 −1 +1−lim a→−∞ 1 e a 6 − 1 6 ⋅0−1 ...
... Da ln 1 = 0 und ln e =1 ist, liegt die Funktion im positiven Bereich. Wir können die Substitutionsregel nutzen. Wir benötigen einen inneren Term g(t) und einen äußeren Term f(x)=f(g(t)). Für das Integral muss gelten: lnx x 1 e ∫ dx f(x) = lnx x f(g(t))⋅g´(t) ∫ dt = f(x) ∫ ...
... ∫ = u(x)⋅v(x) [] 1 e −u(x)⋅v´(x)dx 1 e ∫ = ln(x)⋅ln(x) [] 1 e −ln(x)⋅ 1 x dx 1 e ∫ ⇔ 1 x ⋅lnxdx 1 e ∫ +ln(x)⋅ 1 x dx 1 e ∫ = ln(x)⋅ln(x) [] 1 e ⇔2 1 x ⋅lnxdx 1 e ∫ = In(x)⋅ln(x) [] 1 e ⇔ 1 x ⋅lnxdx 1 e ∫ = ln(x)⋅ln(x) [] 1 e ...
