Partielle Integration von Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger

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Über den Vortrag

Der Vortrag „Partielle Integration“ von Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger ist Bestandteil des Kurses „Analysis für Wirtschaftsmathematik III“. Der Vortrag ist dabei in folgende Kapitel unterteilt:

  • Partielle Integration
  • Substitutionsregel

Quiz zum Vortrag

  1. Das verbleibende Integral muss einfacher zu berechnen sein als das Ausgangsintegral.
  2. Die Funktion v(x) muss leicht integrierbar sein.
  3. Man wählt immer jene Funktion als v´(x), von der man die Stammfunktion kennt.
  4. Es muss ∫ [u(x) * v(x)]´ = u´(x) * v(x) gelten.
  1. ...müssen Sie die e-Funktion als u´(x) definieren.
  2. ...bleibt die e-Funktion nach ihrer Ableitung gleich.
  3. ...müssen Sie die e-Funktion als v(x) definieren.
  4. ...bleibt die Funktion u(x) nach ihrer Ableitung gleich.
  1. Der natürliche Logarithmus muss als v(x) definiert werden.
  2. Der andere Teil der Funktion muss als u´(x) definiert werden.
  3. Der natürliche Logarithmus muss als u´(x) definiert werden.
  4. Der andere Teil der Funktion muss als v(x) definiert werden.
  1. ∫ f(g(t)) * g´(t) dt = ∫ f(x) dx
  2. ∫ f(g(t)) * g´(t) dt = ∫ F(x) dx
  3. ∫ f(g(t)) * g(t) dt = ∫ f(x) dx
  4. ∫ F(g(t)) * g´(t) dt = ∫ f(x) dx
  1. g(t) stellt den äußeren Term dar.
  2. f(g(t)) stellt den inneren Term dar.
  3. g(t) stellt den inneren Term dar.
  4. f(g(t)) stellt den äußeren Term dar.
  1. In Worten bedeut die Kettenregel: "Äußere Ableitung mal innere Ableitung".
  2. Für die Funktion f(x) = u(v(x)) muss laut der Kettenregel f′(x) = u′(v(x))·v′(x) gelten.
  3. Die Kettenregel leitete sich aus der Substitutionsregel ab.
  4. Mit der Kettenregel lässt sich eine Stammfunktion F(x) bilden.
  1. ...f(g(t)) = F´(g(t)) gelten.
  2. ...f(g(t)) = F(g(t)) gelten.
  3. ...f(g(t)) = F´(x) gelten.
  4. ...f(g(t)) = F(x) gelten.

Dozent des Vortrages Partielle Integration

Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger

Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger

Rolf Stahlberger hat Mathematik, Betriebswirtschaftslehre und Volkswirtschaftslehre in Karlsruhe und Hagen studiert. Er hat langjährige Erfahrung als Dozent und Mentor in Vor-Ort Seminaren sowie Webinaren. Schwerpunkte seiner Forschung liegen bei Operations Research und dem Wirtschaftsingenieurwesen.

Weitere Informationen unter www.mathepress.de und www.fernstudium-guide.de

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Auszüge aus dem Begleitmaterial

... als das Ausgangsintegral, kann die Regel der Partiellen Integration sinnvoll verwendet werden. 2. Man wählt immer jene Funktion als u´(x), von der man die Stammfunktion kennt. v(x) im Gegensatz muss „leicht“ ableitbar sein. Gegeben ...

... Ausgangsintegral. Man definiert die e-Funktion als u(x) und v(x) = x. Dazu ist wichtig zu wissen, dass die e-Funktion nach der Ableitung „ gleich“ bleibt. Zudem muss das verbleibende Integral „einfach“ zu ...

... ⋅ln(2x)− 1 5 ⋅ x 5 2x ⋅2 ∫ dx = 1 5 x 5 ⋅ln(2x)− 1 5 ⋅ x 4 2 ⋅2 ∫ dx = 1 5 x 5 ⋅ln(2x)− 1 5 x 4 ∫ dx = 1 5 x 5 ⋅ln(2x)− 1 5 ⋅ 1 5 x 5 ...

... −x x+2⋅e −x −e −x ⋅2x ∫ dx=2⋅e −x ⋅x+1 () gesucht:−e −x ⋅2x ∫ dx u´(x) = −e −x v(x) = 2x −e −x´=−−e −x = e −x. Beachte: 587. Integralrechnung -> 7.3 Partielle Integration -> ...

... dx = −cosx⋅x+cosxdx ∫ sinx⋅x ∫ dx = −cosx⋅x+sinx [] weil sinx [] ´ = cosx gesucht: x⋅sinx ∫ dx u´(x) = sinx v(x) = x 597. Integralrechnung ...

... -> 7.3 Partielle Integration -> Beispiel 5. Zu bestimmen ist die Stammfunktion der nachfolgenden Funktion. Unter Verwendung der ...

... ∫ dx= 1 2 x 2 ⋅logx− 1 2 xdx ∫ x⋅logx ∫ dx= 1 2 x 2 ⋅logx− 1 2 ⋅ 1 2 x 2 x⋅logx ∫ ...

... = 1 2 e 2 − 1 2 ⋅e 0 ⋅0 − 1 2 ⋅ 1 2 e 2 − 1 2 e 0 = 1 2 e 2 − 1 2 ⋅ 1 2 e 2 − 1 2  = 1 2 e 2 − 1 4 e 2 ...

... zu bestimmen, sucht man nach dem äußeren Term und dem inneren Term, ersetzt den inneren Term durch x und erhält: lnt () 2 ⋅ 1 t a b ∫ dt=F(g(t)) [] a b = 1 3 (lnt) 3 a b 647. Integralrechnung -> 7.4 Substitutionsregel F(g(t)) = 1 3 (lnt) 3 = 1 3 x 3 ...

... von f(x) ist, so gilt: Dann kann man integrieren: F(x) = F(g(t)), x = g(t)F´(x) = F´(g(t))⋅g´(t) f(g(t))⋅g´(t) ∫ dt = F´(g(t))⋅g´(t) ∫ dt = ...

... man das Integral mit der Substitutionsregel an, erhält man: Damit ist die Stammfunktion gegeben zu . Die Probe zeigt, dass wir richtig gerechnet haben: f(g(t)) = e t 4 = e x g(t) = t 4 ...

... sei das folgende Integral. Nun kann man den inneren Term und den äußeren Term identifizieren und erhält: Setzt man das Integral mit der Substitutionsregel an, erhält man: Damit ist die Stammfunktion gegeben zu ...

... 1 ∫ dt f(g(t))⋅g´(t) ∫ dt = f (x) ∫ dx Seif(g(t)) = 1 1−t 2 = 1 x mit g(t) = 1−t 2 = x f(g(t))⋅g´(t) ∫ dt = 1 1−t 2 ⋅1−t 2 () ´ ∫ dt = 1 x ∫ dx = x − 1 2 ∫ dx = 1 − 1 2 +1 x − 1 2 +1 0 1 = 1 1 2 x 1 2 ...

... −b 6 −e −0 6 () +e −0 6 −lim a→−∞ e −a 6 () () = − 1 6 ⋅lim b→∞ e −b 6 −1 () +1−lim a→−∞ e −a 6 () () =− 1 6 ⋅lim b→∞ 1 e b 6 −1 +1−lim a→−∞ 1 e a 6 − 1 6 ⋅0−1 ...

... Da ln 1 = 0 und ln e =1 ist, liegt die Funktion im positiven Bereich. Wir können die Substitutionsregel nutzen. Wir benötigen einen inneren Term g(t) und einen äußeren Term f(x)=f(g(t)). Für das Integral muss gelten: lnx x 1 e ∫ dx f(x) = lnx x f(g(t))⋅g´(t) ∫ dt = f(x) ∫ ...

... ∫ = u(x)⋅v(x) [] 1 e −u(x)⋅v´(x)dx 1 e ∫ = ln(x)⋅ln(x) [] 1 e −ln(x)⋅ 1 x dx 1 e ∫ ⇔ 1 x ⋅lnxdx 1 e ∫ +ln(x)⋅ 1 x dx 1 e ∫ = ln(x)⋅ln(x) [] 1 e ⇔2 1 x ⋅lnxdx 1 e ∫ = In(x)⋅ln(x) [] 1 e ⇔ 1 x ⋅lnxdx 1 e ∫ = ln(x)⋅ln(x) [] 1 e ...