Extrema mit Nebenbedingungen von Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger

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Über den Vortrag

Der Vortrag „Extrema mit Nebenbedingungen“ von Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger ist Bestandteil des Kurses „Analysis für Wirtschaftsmathematik III“. Der Vortrag ist dabei in folgende Kapitel unterteilt:

  • Extrema unter Nebenbedingungen
  • Integralrechnung
  • Übungsaufgaben Integralrechnung

Quiz zum Vortrag

  1. Im ersten Schritt des Maximierungs- bzw. Minimierungsproblems wird die Nebenbedingung nach x oder y umgeformt.
  2. Wenn f´´(x) < 0 gilt, dann handelt es sich um einen Maximalpunkt.
  3. Wenn f´(x) > gilt, dann handelt es sich um ein Minimalpunkt.
  4. Im ersten Schritt des Maximierungs- bzw Minimierungsproblems wird die Nebenbedingung in die Zielfunktion eingesetzt.
  1. Der Nullterm ergibt sich, indem man die Nebenbedingung gleich Null setzt.
  2. Der Nullterm muss zur Zielfunktion addiert werden.
  3. Der Nullterm muss zur Zielfunktion subtrahiert werden.
  4. Der Nullterm ergibt sich, indem man die Zielfunktion gleich Null setzt.
  1. Durch die Integralrechnung wird der Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-Achse bestimmt.
  2. Bei der Integralrechnung muss es sich um ein Intervall der Funktion handeln.
  3. Bei der Integralrechnung muss es sich um eine unbeschränkte Funktion handeln.
  4. Durch die Integralrechnung wird der Flächeninhalt zwischen der Funktion und der y-Achse bestimmt.
  1. Ein Integral hat immer ein positives Vorzeichen.
  2. Falls die Funktion im Intervall größer als Null ist, kann man von einer tatsächlichen Fläche sprechen.
  3. Eine stetige Funktion ist integrierbar.
  4. Die Funktion f wird Integrand und die Variable x Integrationsvariable genannt.
  1. F (x) = ln (x) - x ist die Stammfunktion von f (x) = ln (x)
  2. F (x) = x + 12y - 23 ist die Stammfunktion von f (x) = 1.
  3. F (x) = -cosx + 5 ist die Stammfunktion von f (x) = sinx.
  4. F (x) = e^x ist die Stammfunktion von f (x) = e^x.
  1. Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), dann berechnet man den Wert des Integrals mit der Differenz F (Integrationsobergrenze) - F (Integrationsuntergrenze).
  2. Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), dann berechnet man den Wert beider Integrale mit der Differenz F (Integrationslobergrenz) - f (Integrationsobergrenze).
  3. Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), dann berechnet man den Wert des Integrals mit der Differenz f (Integragtionobergrenze) - f (Integrationsuntergrenze).
  4. Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), dann berechnet man den Wert des Integrals mit der Differenz f (Integrationsuntergrenze) - f (Integrationsobergrenze).
  1. a ∫ f(x) dx = 1 a
  2. Bei Vertauschung der Integrationsgrenzen muss ein Minuszeichen vor das Integral.
  3. Bei Vertauschung der Stammfunktionen muss ein Minuszeichen vor das Integral.
  4. Für einen Punkt gibt es keine Fläche.
  1. ...wenn die Integrationsgrenzen keine reellen Zahlen sind.
  2. ...wenn keine Stammfunktion existiert.
  3. ...wenn die Integrationsgrenzen vertauscht werden.
  4. ...wenn die Stammfunktion eine Grenzwertfunktion ist.

Dozent des Vortrages Extrema mit Nebenbedingungen

Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger

Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger

Rolf Stahlberger hat Mathematik, Betriebswirtschaftslehre und Volkswirtschaftslehre in Karlsruhe und Hagen studiert. Er hat langjährige Erfahrung als Dozent und Mentor in Vor-Ort Seminaren sowie Webinaren. Schwerpunkte seiner Forschung liegen bei Operations Research und dem Wirtschaftsingenieurwesen.

Weitere Informationen unter www.mathepress.de und www.fernstudium-guide.de

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Auszüge aus dem Begleitmaterial

... Man löst die Nebenbedingungen jeweils nach einer Variablen auf und setzt diese in die Zielfunktion. Beispiel: 1. Schritt: Forme Nebenbedingung ...

... Maximum): min3x 2 +4y u.d.B. 4x+2y=12 x,y∈IR minf(x)=3x 2 +24−8x f´(x)=6x−8=0⇒x= 8 6 = 4 3 f´´(x)=6>0→Minimum x = 4/3 2y=12−4 4 3 ⎛ ...

... man das Problem etwas umstellt. Wir setzen nun die Zielfunktion an und addieren einen Nullterm (!): Genauso gut hätte man übrigens den Nullterm subtrahieren können: Wie gewohnt muss ...

... einem Intervall zwischen a und b zeichnet, so kann man sich fragen, wie groß der ...

... Flächeninhalt näherungsweise bestimmen. yxbaf(x) Dies ist jedoch nur eine Näherung! Es fehlen die nicht ausgefüllten Flächenstücke zwischen den Rechtecken und dem Funktionsgraphen. Können ...

... aus diesem Teilintervall den Funktionswert „berührt“ bzw. schneidet. 3. Summiere die einzelnen Rechteckflächen zu einer Gesamtfläche auf. 4. Verbessere die Näherung der Fläche, indem die Intervallzahl erhöht wird und damit die Breite aller Intervall geringer wird. yxa = x0 ...

... Wichtig: Die Rechtecke schließen den Graphen f(x) dann „ganz knapp“ ein! Integration—Grundbegriffe: Riemann’sche Zwischensummen, Obersumme, Untersumme. Man spricht bei !n i=1f(!i)·!xi von Riemann’schen Zwischensummen. Das Integral nennt man auch Riemann-Integral. Wählt man !i derart, dass f(!i) im Intervall [xi!1,xi] minimal wird, spricht man von einer Untersumme ...

... ∞ (d.h. falls unendlich viele „schmale“ Rechtecke gebildet werden) in jedem Fall gegen einen bestimmten Grenzwert konvergiert (d.h. falls man tatsächlich gegen einen Flächenwert strebt), so bezeichnet man als bestimmtes Integral von f ...

... Ansonsten gehen die Flächenstücke unterhalb der x-Achse (wo f(x) < 0) mit negativem Vorzeichen in das bestimmte Integral ein. Das ...

... ∫ =f(x)dx a c ∫ +f(x)dx c b ∫ ,a

... Beispiel 3: ist Stammfunktion von F(x)= 1 3 x 3 F(x)= 1 3 x 3 −17 f(x)=x 2 f(x)=x 2 f(x) ∫ dx F(x)= 1 3 x 3 +c f(x)=x 2 für eine beliebige reelle Zahl c.41 F(x)=x 2 f(x)=2xf(x)=2x F(x)=x 2 ...

... dazu allerdings ein bestimmtes Integral mit Integrationsgrenzen. Beispiel: Die Fläche unterhalb der Hyperbel f(x) = 1/x zwischen 1 und einer Zahl b ist gleich ln b, da ln(x) eine Stammfunktion von 1/x ist. Ist b gleich 1, so hat das ...

... Wie aber kann man konkret den Wert eines Integrals berechnen? Dazu nutzen wir den Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung. Notwendig ist dazu allerdings ein bestimmtes Integral mit ...

... 48 Bestimmen Sie die Stammfunktionen folgender Funktionen: 7. Integralrechnung -> 7.2.1 Übungsaufgaben -> Beispiele 12 bis 1812.)13.)14.)15.)16.)17.)18.) F(x)´=4+0 F(x)´=3x 2 +0 F(x)= 6 30 x 5 +0 ...

... man gemäß der Integrationsregeln folgende Stammfunktion: Damit ergibt sich für das Integral: 3lnx 1 4 ∫ +sinxdx F(x)=x⋅lnx−x−cosx denn x⋅lnx−x−cosx () ´=x () ´⋅lnx+x⋅lnx () ´−x () ´−cosx () ´ =1⋅lnx+x⋅ 1 x ...