Dimensionen im Vektorraum von Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger

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Über den Vortrag

Der Vortrag „Dimensionen im Vektorraum“ von Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger ist Bestandteil des Kurses „Lineare Algebra für Wirtschaftswissenschaftler I“. Der Vortrag ist dabei in folgende Kapitel unterteilt:

  • Einführung
  • n-dimensionaler Raum
  • Lineare Unabhängigkeit

Quiz zum Vortrag

  1. ...gelten die Rechenregel analog zum Vektorraum IR².
  2. ...gilt das Assoziativgesetz der Addition.
  3. ...findet die Subtraktion nicht mehr komponentenweise statt.
  4. ...können keine Skalarprodukte entstehen.
  1. Der Vektor ist eine Linearkombination der drei Einheitsvektoren.
  2. Der Vektor ist das Skalarprodukt der drei Einheitsvektoren.
  3. Der Vektor wird mit einem der Einheitsvektoren multipliziert.
  4. Keine der Aussagen trifft zu.
  1. Sie müssen paarweise orthogonal sein.
  2. Sie müssen die Norm Eins haben.
  3. Sie müssen auf einer Gerade liegen.
  4. Durch ihre Linearkombination kann auch nicht trivial der Nullvektor dargestellt werden.
  1. ||a|| = √(a1² + a2² + a3²)
  2. ||a|| = √(a1² + a2² + a3² ... + an²)
  3. ||a|| = √(z + a3²) = z
  4. ||a|| = √(a1² + a2² + a3² - z)
  1. Die Vektoren sind linear abhängig.
  2. Die Vektoren bilden eine Orthonormalbasis.
  3. Mindestens einer der Vektoren ist ein Einheitsvektor.
  4. Mindestens einer der Vektoren ist ein Nullvektor.
  1. Wenn man die Vektoren aneinanderreiht, kann man wieder zum Nullpunkt gelangen.
  2. Wenn man die Vektoren multipliziert, erhält man den Nullvektor.
  3. Die Vektoren liegen alle auf einer Linie.
  4. Wenn man die Vektoren addiert, erhält man einen Einheitsvektor.

Dozent des Vortrages Dimensionen im Vektorraum

Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger

Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger

Rolf Stahlberger hat Mathematik, Betriebswirtschaftslehre und Volkswirtschaftslehre in Karlsruhe und Hagen studiert. Er hat langjährige Erfahrung als Dozent und Mentor in Vor-Ort Seminaren sowie Webinaren. Schwerpunkte seiner Forschung liegen bei Operations Research und dem Wirtschaftsingenieurwesen.

Weitere Informationen unter www.mathepress.de und www.fernstudium-guide.de

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Auszüge aus dem Begleitmaterial

... n = 3, also im dreidimensionalen Fall, können wir noch Vektoren grafisch veranschaulichen. Beispiel: Wir wollen den nachfolgenden Vektor a darstellen. 552. n-dimensionaler Vektorraum -> 2.1 Einführung x-Achse y-Achse z-Achse a= 3 4 5 ...

 

... Rechenregeln für Vektoren - 1. Die Subtraktion von Vektoren: Vektoren können genauso wie Zahlen subtrahiert werden. Dabei ist jedoch zu beachten, dass die Vektoren aus dem gleichen Vektorraum stammen ...

... der reellen Zahlen entstammen, insbesondere ist also auch die Multiplikation mit Null und negativen Zahlen erlaubt. Dabei wird wiederum komponentenweise mit jeder Komponente des Vektors multipliziert. Allgemein gilt: Beispiel: Gegeben sei der folgende Vektor a. Durch Multiplikation mit dem Skalar 2 bzw. -1 erhält man die

 

... die Darstellung gleich einer Zerlegung in drei verschiedene Einheitsvektoren multipliziert mit den jeweiligen reellen Zahlen des Vektors a. Der Vektor a ist damit eine Linearkombination der Einheitsvektoren e1, e2 und e3. ...

 

... aneinanderreihen kann, dass man wieder in den ursprünglichen Nullpunkt gelangt. Damit ist bewiesen, dass a1, a2 und a3 linear abhängig sind. Linearkombinationen und Lineare Unabhängigkeit: Wie auch im zweidimensionalen Fall kann man prüfen, ob Vektoren linear abhängig bzw. unabhängig sind. Gegeben seien die nachfolgenden drei Vektoren. Beispiel: Gegeben seien die drei folgenden Vektoren: a 1 = 0 1 2 ...

... Man sieht, dass es durch elementares Umformen möglich ist, eine Linearkombination der beiden Vektoren zu enden, welche Koeffizienten ungleich Null enthält (nämlich 1 und -2). Der Nullvektor ist damit AUCH NICHTtrivial durch eine Linearkombination der 2 Vektoren darstellbar. Es ...

... Ist einer der n Vektoren der Nullvektor, sind sie linear abhängig. 3. n+1 oder mehr Vektoren sind im n-dimensionalen Vektorraum immer linear abhängig. Dabei spielt es keine Rolle, ob einmal oder mehrmals der Nullvektor enthalten ist. ...

 

... Einheitsvektoren). 2.) n nennt man die „Dimension“ von IRn . 3.) n linear unabhängige Vektoren von IRn nennt man eine „Basis“ des Vektorraums IRn Hat man zu prüfen, ob einige Vektoren eine Basis eines Vektorraums bilden, muss man untersuchen, ob sie ...

 

 

... Das resultat ist das sogenannte Skalarprodukt. Dabei handelt es sich immer um eine Zahl (also einen Skalar). Leiten wir uns diese Rechenregel her. Dazu benötigen wir jedoch den Kosinussatz: In jedem Dreieck gilt: Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall mit cos 90° = 0. Mit den Vektoren a und b folgt für ...

... Skalarprodukt gleich Null ist. Beispiel: a T ⋅b=a⋅b⋅cos(a,b) a T ⋅b=1 2 +2 2 +3 2 ⋅−2 () 2 +4 2 +(−2) 2 ⋅cos(a,b) a T ⋅b=14⋅24⋅cos(a,b) 0=a T ⋅b=15⋅cos(a,b) ⇒0=cos(a,b) a= 1 2 3 ...

... a T ⋅b=1⋅−2 () +2⋅(4)+3⋅−2 () =0 Weil die Summe der Produkte gleich Null ist, ist das Skalarprodukt auch gleich null und damit sind die Vektoren a und b orthogonal zueinander. Allerdings müssen zwei Vektoren nicht zwingend orthogonal zueinander stehen, wie nach nächste Beispiel zeigt. ...

 

... Den Kosinus berechnet man mit dem Taschenrechner durch „inv“ und „cos“ drücken. ...