Folgen in der Mathematik
Über den Vortrag
Der Vortrag „Folgen in der Mathematik“ von Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger ist Bestandteil des Kurses „Wirtschaftsmathematik“. Der Vortrag ist dabei in folgende Kapitel unterteilt:
- Einführung
- Folgen
- Klausurtypische Aufgaben
- Konvergenz
Quiz zum Vortrag
Was ist die allgemeine Definition einer Folge?
- Jeder natürlichen Zahl n wird eine reele Zahl x zugeordnet.
- Jeder reelen Zahl n wird eine natürliche Zahl x zugeordnet.
- Die Wertemenge entspricht der Menge der natürlichen Zahlen.
- Die Definitionsmenge entspricht der Menge der reellen Zahlen.
Eine arithmetische Folge entsteht, wenn...
- ...die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist.
- ...der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist.
- ...wenn die Folge explizit darstellbar ist.
- ...wenn die Folge rekursiv darstellbar ist.
Welche Aussage trifft auf die Folge a = 1/n zu?
- Die Folge ist nach unten und oben beschränkt.
- Die Folge ist nur nach unten beschränkt.
- Die Folge ist nur nach oben beschränkt.
- Die Folge ist weder nach oben noch nach unten beschränkt.
Unter welcher Bedingung ist eine Folge monoton wachsend?
- Xn ≤ Xn+1
- Xn ≥ Xn+1
- Xn < Xn+1
- Xn > Xn+1
Eine geometrische Folge entsteht, wenn...
- ...der Quotient q je zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist.
- ...die Differenz je zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist.
- ...die rekursive Darstellung Xn+1 = Xn + q gilt.
- ...die Gleichung Xn/Xn+1 = q gilt.
Bei gegebener Folge a = 1/n...
- ...nähern sich die Glieder mit wachsendem Index der Zahl 0.
- ...nähern sich die Glieder mit sinkendem Index der Zahl 0.
- ...nähern sich die Glieder mit wachsendem Index der Zahl 1.
- ...nähern sich die Glieder mit sinkendem Index der Zahl 1.
Eine Folge ist konvergent gegen eine Zahl a (Grenzwert) für n → ∞,
- ...wenn die Gleichung IAn - AI < ε gilt.
- ...wenn für alle späteren Indizes der Abstand zwischen den Folgenglieder und dem Grenzwert wächst.
- ...wenn die Gleichung IAn - AI > ε gilt.
- ...wenn für alle späteren Indizes gilt, dass sie kleiner werden.
Gehen Sie davon aus, dass für jeden Grenzwert n → ∞ gilt. Welche Gleichung ist falsch?
- lim(A / Bn) = A / B, falls Bn ≠ 0
- lim(An - Bn) = A - B
- lim(An * Bn) = limA * limB
- lim(An + Bn) = limA + limB
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Dozent des Vortrages Folgen in der Mathematik
Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger
Rolf Stahlberger hat Mathematik, Betriebswirtschaftslehre und Volkswirtschaftslehre in Karlsruhe und Hagen studiert. Er hat langjährige Erfahrung als Dozent und Mentor in Vor-Ort Seminaren sowie Webinaren. Schwerpunkte seiner Forschung liegen bei Operations Research und dem Wirtschaftsingenieurwesen.
Weitere Informationen unter www.mathepress.de und www.fernstudium-guide.deKundenrezensionen
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Auszüge aus dem Begleitmaterial
... Grundlagen der Mathematik Fernstudium Guide. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form ...
... 2 Kapitel 3 - Terme, Klammern und Gleichungen 3.1 Klammern auflösen 3.2 Die Binomischen Formeln 3.3 Übungsaufgaben 3.4 Gleichungen lösen 3.5 quadratische Gleichungen lösen 3.6 Gleichungen höheren Grades lösen 3.7 lineare Ungleichungen ...
... Aufgaben 6.7 Konvergenz von Folgen 6.7.1 Einführung 6.7.2 Beispiele 6.7.3 Grenzwertsätze Kapitel 7 - Grenzwerte von Funktionen 7.1 Einführung 7.1.1. Grenzwert für x gegen unendlich 7.1.2. Grenzwert für x gegen x0 - Fall 1 7.1.3. Grenzwert für x gegen x0 - Fall 2 7.2 Rechenregeln für Grenzwerte ...
... x steht, nennt man Index. x1 heißt das erste Glied der Folge, x2 das zweite Glied, usw. z.B.: 99, 17, 312, 5, 8, 1,... Die Folgenglieder sind dann: x1 = 99, x2 = 17, x3 = 312, x4 = 5, x5 = 8, x6 = 1, ... Von ...
... 12 18+4 = 12 22 = 6 11 Bestimmen Sie das 3. Folgenglied der Folge ...
... 1) mal hinzu addiert wird. Man kann unmittelbar durch explizite Berechnung das n-te Folgenglied bestimmen: =< 2; 6; 10; 14;18;... > +1·4+2·4+3·4+4·4xn = 2 + (n − 1) · 4 x1 = 2 + (1-1) · 4 = 2 x2 = 2 + (2-1) · 4 = 6 x3 = 2 + (3-1) · 4 = 10 ...
... = x1 · qn −1 Herleitung für Interessierte: x n+1 x n =q Beispiel:! = < 2; 4; 8; 16; 32 ...> =< 2; 4; 8; 16; 32; ... > Das n-te Folgeglied einer geometrischen Folge wird errechnet, indem zum ersten Folgeglied (n – 1)-mal der Quotient q hinzu multipliziert wird. xn = 2 · ...
... Zu zeigen ist: ⇔ 2n−1 n+1 < 2(n+1)−1 (n+1)+1 ⇔ 2n−1 n+1 < 2n+1 n+2 ⇔ 2n−1 (n+1) < 2n+1 (n+2) ⇔⇔ 2n−1 (n+1) ⋅(n+1)⋅(n+2)< 2n+1 (n+2) ⋅(n+1)⋅(n+2) ⇔(2n−1)⋅(n+2)<(2n+1)⋅(n+1) ⇔2n 2 +3n−2
... a n+1
... gibt, sodass alle Glieder xn kleiner oder gleich b sind: xn ≤ b für alle natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... b heißt obere Schranke. x1x2x3x4x5...xn ······ bb ist obere Schranke. Definition: Eine Folge xn heißt nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl c gibt, sodass alle Glieder ...
... 1/2 nach unten beschränkt ist, muss gelten: für alle n = 1, 2, 3, ... Nun kann man unmittelbar ansetzen: Diese Bedingung ist für alle natürlichen Zahlen erfüllt, da alle natürlichen Zahlen ...
... obere Schranke hat. 2n−2 n 146. ...
... 5 eine obere Schranke hat. 2n−2 n 2n−2 n
... Zuerst zeigen wir, dass die Folge arithmetisch ist. Das bedeutet, dass der Abstand zwischen zwei benachbarten Folgengliedern konstant ist. Der Abstand ist also gleich 3 und damit konstant. Die Folge ist nicht nach oben beschränkt, da die Menge der natürlichen Zahlen nicht nach oben beschränkt ...
... Glieder berechnen: a n = 1 n .|a n −a|=| 1 n −0|=| 1 n |= 1 n a 1 =1a 2 = 1 2 =0.5a 3 = 1 3 =0.33a 4 = 1 4 =0.25....a n = 1 n . 196. Folgen -> ...
... Dann sind alle Folgenglieder ab a6 um weniger als 0.2 von der Zahl Null entfernt: /69 Grenzwert = 0 ε= 1 5 =0,2 ann ... |a 4 −a|= 1 4 −0= 1 4 =0,25>0,2 |a 5 −a|= 1 5 −0= 1 5 =0,2=0,2 |a 6 −a|= 1 ...
... jedes (noch so kleine) ε > 0 gibt es einen Index n0, so dass für alle späteren (größeren) Indizes n > n0 gilt, dass der Abstand zwischen den Folgengliedern und dem Grenzwert a kleiner als ε ist: | an ...
... ∞“. ∞ ist aber keine Zahl, daher hat diese Folge keinen Grenzwert und ist divergent. Beispiel 1: lim n→∞ 3 n+5 =0 weil 3 n+5 −0= 3 n+5 < 3 n →0n→∞ () Je größer n wird, umso kleiner wird 3/n, d.h. die Folge nähert ...
