Der Vortrag „Schwingungen und Resonanz“ von Dipl.-Met. Rolf Tautkus ist Bestandteil des Kurses „Differentialgleichung“. Der Vortrag ist dabei in folgende Kapitel unterteilt:
Was ist die Ausgangsgleichung des Superpositionsprinzip?
Welcher Typus von Differentialgleichung beschreibt eine gedämpfte Schwingung?
Welche drei Möglichkeiten gibt es für die Nullstellen eines charakteristischen Polynoms?
Welche der folgenden Aussagen treffen für den Kriechfall zu?
Wie groß ist die Anzahl der Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Differentialgleichung eines schwingfähigen Systems im aperiodischen Grenzfalls?
Was lässt sich im Schwingfall über die Dämpfung eines Systems sagen?
Welche Aussage über die Resonanz trifft nicht zu?
Welche Aussage über die Nullstellen eines charakteristischen Polynoms sind richtig?
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... der Vorgang mit umgekehrten Vorzeichen fort. Die Änderung der Zustandsgröße kann durch eine Dämpfung verlangsamt werden, die dem System innewohnt. Dann spricht man von einer gedämpften Schwingung. Das System kann, wenn einmal die Schwingung in Gang gesetzt ist, von selbst weiterschwingen (freie Schwingung ) oder aber es gibt einen von außen auf das System wirkenden Antrieb, der die Schwingung erzwingt/ erzwungene Schwingung. Das Phänomen einer Schwingung ist dabei nicht auf physikalische Systeme beschränkt, wo es zahlreiche Beispiele gibt, Schwingungen können auch regelmäßig auftretende ...
... dem Hook’schen Gesetz genügen und trägt wegen des eben Gesagten auch ein negatives Vorzeichen 8 = ? ? ( ). Als drittes kommt die Reibungskraft ins Spiel. Es soll sich in unserem Beispiel um eine laminare Flüssigkeit handeln, in der Reibungskräfte proportional zur Geschwindigkeit eines Körpers sind Reibungskräfte wirken immer der Bewegung entgegen. Bewegt sich also der Körper nach oben ist also die Geschwindigkeit ...
... fragen, wo hier die Differentialgleichung steckt? Dazu muss bedacht werden, dass die Beschleunigung a/t0+ die Geschwindigkeit v /t0 und der zurückgelegte Weg y/t0 in folgendem Zusammenhang stehen, ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ‘(t). Damit erhält man nun folgende Bewegungsgleichung. Es ist eine lineare Differentialgleichung. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ...
... inhomogene Gleichung zu finden. Dazu können wir den Ansatz des Funktionstypus der rechten Seite machen, erhalten aber eine spezielle Lösung auch schon durch eine kurze Überlegung. Wenn wir y @( x ) = A setzen, dann verschwinden die Terme, die die erste und zweite Ableitung enthalten und die Konstante A lässt sich leicht so berechnen, dass die inhomogene Gleichung erfüllt ist. Man erhält, G = ?. Die allgemeine Lösung lautet demnach y( t) = C(? eI=?J+ C%? eI>?J? g ? m D ...
... Ordnung mit konstanten Koeffizienten angelegt haben, entnehmen wir den folgenden Ansatz, den wir mit der schon im ersten Fall ermittelten speziellen Lösung des inhomogenen Falles ergänzen, ( ) = ( <(+ <%? ) ? !"?#? ?. Prinzipiell besteht zum Kriechfall kein Unterschied, denn es stellt sich aufgrund der starken Dämpfung noch immer keine Schwingung ein. Der aperiodische Grenzfall beschreibt jedoch die Situation, in der ein schwingfähiges System am schnellsten zur Ruhe kommt. Das kann ...
... Fälle sind im folgenden Schaubild dargestellt. Als Vergleich ist auch die konstante Auslenkung der Feder bei angehängter Masse ...
... ?1 0,2^X(? 4 1 ± - 1 ? 4 ? 10 ? 0,1 0,00015 = ? 0,05 1 ^± 0,05 1 ^? ? 39999? d mit e = ?0,05( [ und f ? 10( [. Nach dem Ansatz aus Kapitel J ergibt sich als homogene Lösung der Differentialgleichung, wobei für praktische Probleme lediglich der Realteil der Lösung von Bedeutung ist. ;( ) = h!iG!( jklm ) #+ n!(jXlm ) #o = h!i!j#(G!lm#+ n!Xlm#)o ;( ) = h! p !j#q( (+ d%)( Wr^f + d^dsf ) + ( t(+ dt%)( cos (?f ) + d^ds(?f ) )vw ;( ...
... sieht, dass die Frequenz des schwingenden Systems von der Stärke der Dämpfung abhängig ist. Die höchste Frequenz hat ein frei schwingendes System ohne ...
... <(? | ( } ) ? !j~? ^ds ( f} ) durch den folgenden Ansatz zu einer speziellen Lösung gelangen kann, ( } ) = }?? !j~?( |((} ) ? sin (f}) + |%(}) ? cos (f}) ). Für den Fall, dass die Zahl e + ...
... Diese Gleichung ist zu jedem beliebigen Zeitpunkt nur dann erfüllt, wenn G = 0 und n = ` 2?`. Eine spezielle Lösung der Differentialgleichung lautet daher ...). Uns genügt hier die Betrachtung der speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung, da sie das Verhalten des Systems nach einer Anfangsphase dominieren wird. Wir erkennen zwei Dinge: Erstens erfolgt die Schwingung um GF° phasenverschoben zur Erregerschwingung und zweitens wächst die ...