Schwingungen und Resonanz von Dipl.-Met. Rolf Tautkus

Über den Vortrag

Anhand eines gedämpften Federpendels wird die Bearbeitung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten in der Praxis gezeigt. Zunächst wird über das charakteristische Polynom ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung bestimmt. Die Linearkombination der einzelnen Elemente führt auf die homogene Lösung. Die partikuläre Lösung wird mit Hilfe der Methode vom Typ der rechten Seite ermittelt. Es werden drei Fälle unterschiedlich starker Reibung diskutiert: der Kriechfall, der aperiodische Grenzfall und der Schwingungsfall. Abschließend wird untersucht, welche Konsequenzen für das System erwachsen, wenn es einer erzwungenen Schwingung ausgesetzt ist, deren Frequenz der Eigenfrequenz des Systems entspricht.

Der Vortrag „Schwingungen und Resonanz“ von Dipl.-Met. Rolf Tautkus ist Bestandteil des Kurses „Differentialgleichung“. Der Vortrag ist dabei in folgende Kapitel unterteilt:

Überblick
Ergebnisse für lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
Differentialgleichung für eine gedämpfte Schwingung
Nullstellen des charakteristischen Polynoms
Der Kriechfall
Der aperiodische Grenzfall
Der Schwingungsfall
Der Resonanzfall

Quiz zum Vortrag

Was ist die Ausgangsgleichung des Superpositionsprinzip?

Die Addition der homogenen Lösung mit der partikulären Lösung.
Die Subtraktion der homogenen Lösung mit der inhomogenen Lösung.
Die Division der homogenen Lösung durch die partikuläre Lösung.
Die Multiplikation der homogenen Lösung mit der inhomogenen Lösung.

Welcher Typus von Differentialgleichung beschreibt eine gedämpfte Schwingung?

Eine lineare, inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Eine nicht-lineare, inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit beliebigen Koeffizienten.
Eine lineare, homogene Differentialgleichung 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Eine lineare, inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit beliebigen Koeffizienten.

Welche drei Möglichkeiten gibt es für die Nullstellen eines charakteristischen Polynoms?

Es können zwei reelle Nullstellen entstehen.
Es kann eine reelle Nullstelle entstehen.
Es kann eine komplexe Nullstelle entstehen.
Es können drei reelle Nullstellen entstehen.

Welche der folgenden Aussagen treffen für den Kriechfall zu?

Aufgrund der großen Reibung kommt es nicht zur Schwingung.
Das charakteristische Polynom hat zwei einfache reelle Nullstellen.
Das charakteristische Polynom hat zwei einfache komplexe Nullstellen.
Die große Reibung verhindert eine Bewegung in Richtung der Gleichgewichtslage.

Wie groß ist die Anzahl der Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Differentialgleichung eines schwingfähigen Systems im aperiodischen Grenzfalls?

Eine zweifache reelle Nullstelle
Zwei einfache reelle Nullstellen
Eine zweifache komplexe Nullstelle
Zwei einfache komplexe Nullstellen

Was lässt sich im Schwingfall über die Dämpfung eines Systems sagen?

Das System hat eine schwache Dämpfung.
Das System hat keine Dämpfung.
Das System hat eine sehr starke Dämpfung.
Das System hat eine starke Dämpfung.

Welche Aussage über die Resonanz trifft nicht zu?

In gedämpften Systemen kann keine Resonanz auftreten.
Dämpfung verhindert das Anwachsen der Amplitude auf unendlich große Werte.
Die partikuläre Lösung ist gleichzeitig homogene Lösung der Differentialgleichung.
Die Schwingfrequenz und die Erregerfrequenz haben eine Phasendifferenz von 90°.

Welche Aussage über die Nullstellen eines charakteristischen Polynoms sind richtig?

Handelt es sich um zwei einfache komplexe Nullstellen ist die Dämpfung des schwingenden Systems gering.
Die Nullstellen hängen von dem Wurzelausdruck der p-q Formel ab.
Handelt es sich um zwei einfache komplexe Nullstellen ist die Dämpfung des schwingenden Systems stark.
Handelt es sich um zwei einfache komplexe Nullstellen handelt es sich um einen aperiodischen Grenzfall.

Dozent des Vortrages Schwingungen und Resonanz

Dipl.-Met. Rolf Tautkus

Rolf Tautkus studierte Mathematik, Physik und Meteorologie in Karlsruhe und Berlin und schloss sein Studium als Diplom-Meteorologe an der Freien Universität Berlin ab. Anschließend arbeitete er mehrere Jahre als Übungsleiter für Studenten der Meteorologie und war Mitarbeiter bei der täglich erscheinenden Berliner Wetterkarte. Auch im Bereich Printmedien, Rundfunk und Fernsehen sammelte er redaktionelle Erfahrung. Angeregt durch die positiven Erfahrungen als Tutor an der Universität ist er seit vielen Jahren als freier Dozent im Auftrag verschiedener Unternehmen tätig. Dazu gehört insbesondere die Betreuung von Studenten der Wirtschafts- und Ingenieurwissenschaften an der BTU Cottbus und TH Wildau im Fach Mathematik. Seit Herbst 2012 ist er Autor bei Lecturio.

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Auszüge aus dem Begleitmaterial

... der Vorgang mit umgekehrten Vorzeichen fort. Die Änderung der Zustandsgröße kann durch eine Dämpfung verlangsamt werden, die dem System innewohnt. Dann spricht man von einer gedämpften Schwingung. Das System kann, wenn einmal die Schwingung in Gang gesetzt ist, von selbst weiterschwingen (freie Schwingung ) oder aber es gibt einen von außen auf das System wirkenden Antrieb, der die Schwingung erzwingt/ erzwungene Schwingung. Das Phänomen einer Schwingung ist dabei nicht auf physikalische Systeme beschränkt, wo es zahlreiche Beispiele gibt, Schwingungen können auch regelmäßig auftretende ...

... dem Hook’schen Gesetz genügen und trägt wegen des eben Gesagten auch ein negatives Vorzeichen 8 = ? ? ( ). Als drittes kommt die Reibungskraft ins Spiel. Es soll sich in unserem Beispiel um eine laminare Flüssigkeit handeln, in der Reibungskräfte proportional zur Geschwindigkeit eines Körpers sind Reibungskräfte wirken immer der Bewegung entgegen. Bewegt sich also der Körper nach oben ist also die Geschwindigkeit ...

... fragen, wo hier die Differentialgleichung steckt? Dazu muss bedacht werden, dass die Beschleunigung a/t0+ die Geschwindigkeit v /t0 und der zurückgelegte Weg y/t0 in folgendem Zusammenhang stehen, ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ‘(t). Damit erhält man nun folgende Bewegungsgleichung. Es ist eine lineare Differentialgleichung. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ...

... inhomogene Gleichung zu finden. Dazu können wir den Ansatz des Funktionstypus der rechten Seite machen, erhalten aber eine spezielle Lösung auch schon durch eine kurze Überlegung. Wenn wir y @( x ) = A setzen, dann verschwinden die Terme, die die erste und zweite Ableitung enthalten und die Konstante A lässt sich leicht so berechnen, dass die inhomogene Gleichung erfüllt ist. Man erhält, G = ?. Die allgemeine Lösung lautet demnach y( t) = C(? eI=?J+ C%? eI>?J? g ? m D ...

... Ordnung mit konstanten Koeffizienten angelegt haben, entnehmen wir den folgenden Ansatz, den wir mit der schon im ersten Fall ermittelten speziellen Lösung des inhomogenen Falles ergänzen, ( ) = ( <(+ <%? ) ? !"?#? ?. Prinzipiell besteht zum Kriechfall kein Unterschied, denn es stellt sich aufgrund der starken Dämpfung noch immer keine Schwingung ein. Der aperiodische Grenzfall beschreibt jedoch die Situation, in der ein schwingfähiges System am schnellsten zur Ruhe kommt. Das kann ...

... Fälle sind im folgenden Schaubild dargestellt. Als Vergleich ist auch die konstante Auslenkung der Feder bei angehängter Masse ...

... ?1 0,2^X(? 4 1 ± - 1 ? 4 ? 10 ? 0,1 0,00015 = ? 0,05 1 ^± 0,05 1 ^? ? 39999? d mit e = ?0,05( [ und f ? 10( [. Nach dem Ansatz aus Kapitel J ergibt sich als homogene Lösung der Differentialgleichung, wobei für praktische Probleme lediglich der Realteil der Lösung von Bedeutung ist. ;( ) = h!iG!( jklm ) #+ n!(jXlm ) #o = h!i!j#(G!lm#+ n!Xlm#)o ;( ) = h! p !j#q( (+ d%)( Wr^f + d^dsf ) + ( t(+ dt%)( cos (?f ) + d^ds(?f ) )vw ;( ...

... sieht, dass die Frequenz des schwingenden Systems von der Stärke der Dämpfung abhängig ist. Die höchste Frequenz hat ein frei schwingendes System ohne ...

... <(? | ( } ) ? !j~? ^ds ( f} ) durch den folgenden Ansatz zu einer speziellen Lösung gelangen kann, ( } ) = }?? !j~?( |((} ) ? sin (f}) + |%(}) ? cos (f}) ). Für den Fall, dass die Zahl e + ...

... Diese Gleichung ist zu jedem beliebigen Zeitpunkt nur dann erfüllt, wenn G = 0 und n = ` 2?`. Eine spezielle Lösung der Differentialgleichung lautet daher ...). Uns genügt hier die Betrachtung der speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung, da sie das Verhalten des Systems nach einer Anfangsphase dominieren wird. Wir erkennen zwei Dinge: Erstens erfolgt die Schwingung um GF° phasenverschoben zur Erregerschwingung und zweitens wächst die ...