Trennung der Variablen von Dipl.-Met. Rolf Tautkus

Über den Vortrag

Die Vorlesung führt mit der Methode der Trennung der Variablen eines der wichtigsten Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen ein. Angewandt wird dieses Verfahren bei separierbaren Differentialgleichungen, die in vielen Bereichen dazu geeignet sind, Systeme zu modellieren. Beispiele sind Wachstums-, Ausbreitungs- und Sättigungsprozesse in der Physik, aber auch der Biologie, Medizin, Ökonomie oder Demographie. Im Rahmen der Vorlesung wird das Verfahren exemplarisch verwendet, um den Abkühlungsprozess eines Körpers in einer kalten Umgebung zu beschreiben und mit dem logistischen Wachstum ein realitätsnahes Modell für Ausbreitungs- und Sättigungsprozesse zu entwickeln.

Der Vortrag „Trennung der Variablen“ von Dipl.-Met. Rolf Tautkus ist Bestandteil des Kurses „Differentialgleichung“. Der Vortrag ist dabei in folgende Kapitel unterteilt:

Übersicht
Das Differential einer Funktion
Separierbare Differentialgleichungen
Trennung der Variablen
Übersicht der Anwendungsmöglichkeiten
Fallbeispiel 1: Newton'sche Abkühlung
Fallbeispiel 2: Das logistische Wachstum

Quiz zum Vortrag

Das Differential einer Funktion...

...beschreibt den mittleren Anstieg einer Funktion über ein Intervall.
...beschreibt anschaulich ein infinitesimal kleines Steigungsdreieck.
...kann in Gleichungen behandelt werden wie ein gewöhnlicher Quotient.
...definiert die Steigung einer Funktion in einem Punkt.

Welche Form hat eine separierbare Differentialgleichung?

Die Ableitungsfunktion y'(x) ist gleich dem Produkt der Funktionen g(x) und f(y).
Die Ableitungsfunktion y'(x) ist gleich der Funktion f(x,y).
Die Ableitungsfunktion y'(x) ist gleich dem Quotienten aus g(x) und f(y).
Die Ableitungsfunktion y''(x) ist gleich dem Produkt der Funktionen g(x) und f(y).

Nach dem Separieren von y und x wird beim Verfahren der Trennung...

...das Integral beider Seiten gebildet.
...der Logarithmus beider Seiten gebildet.
...ein lösbares Anfangswertproblem bestimmt.
...die Stammfunktion der rechten Seite bestimmt.

Womit wird der Proporitonalitätsfaktor k berechnet?

Keine der Antworten ist richtig.
Durch einsetzen der Konstante C = e^A
Durch einsetzen der Anfangswertbedingung.
Durch das logarithmieren der Differentialgleichung.

Wie lautet die Formel zur Überprüfung der Lipschitz Bedingung?

|f(x,y1) - f(x,y2) / y1 - y2| < L
|f(x,y1) - f(x,y2) / y1 - y2| > L
|y1 - y2 / f(x,y1) - f(x,y2)| < L
|y1 - y2 / f(x,y1) - f(x,y2)| > L

Was gilt für eine Zustandsgröße y, deren zeitlicher Verlauf durch ein logistisches Wachstum modelliert werden kann?

Die Zustandsgröße ist sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt.
Die Zustandsgröße y ist nur nach oben beschränkt.
Die Zustandsgröße muss zum Zeitpunkt Null immer den Wert Null annehmen.
Die Zustandsgröße nähert sich für große Zeiträume einem maximalen Wert G an.

Warum muss man sowohl beim Newton'schen Abkühlungsgesetz als auch beim logistischen Wachstum neben der Anfangswertbedingung noch eine zweite Bedingungen über den Verlauf der Zustandsgröße kennen, um die jeweiligen Funktionen eindeutig formulieren zu können?

Weil der Ansatz durch eine Differentialgleichung 2. Ordnung gegeben ist.
Weil zwei Integrationskonstanten bestimmt werden müssen.
Weil eine Integrationskonstante 1. Ordnung und 2. Ordnung bestimmt werden muss.
Weil eine Integrationskonstante und ein Proportionalitätsfaktor bestimmt werden müssen.

Welche Methode wird angewandt, um die Stammfunktion für das logistische Wachstum zu berechnen?

Partialbruchzerlegung
Partielle Integration
Produktintegration
Substitutionsmethode

Dozent des Vortrages Trennung der Variablen

Dipl.-Met. Rolf Tautkus

Rolf Tautkus studierte Mathematik, Physik und Meteorologie in Karlsruhe und Berlin und schloss sein Studium als Diplom-Meteorologe an der Freien Universität Berlin ab. Anschließend arbeitete er mehrere Jahre als Übungsleiter für Studenten der Meteorologie und war Mitarbeiter bei der täglich erscheinenden Berliner Wetterkarte. Auch im Bereich Printmedien, Rundfunk und Fernsehen sammelte er redaktionelle Erfahrung. Angeregt durch die positiven Erfahrungen als Tutor an der Universität ist er seit vielen Jahren als freier Dozent im Auftrag verschiedener Unternehmen tätig. Dazu gehört insbesondere die Betreuung von Studenten der Wirtschafts- und Ingenieurwissenschaften an der BTU Cottbus und TH Wildau im Fach Mathematik. Seit Herbst 2012 ist er Autor bei Lecturio.

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Auszüge aus dem Begleitmaterial

... Das wird durch den Übergang des griechischen Buchstaben "Delta" Differentials angezeigt. Obwohl nicht selbstverständlich und hier auch ohne mathematischen Beweis erwähnt, kann man rechnerisch mit dem Differtential so umgehen wie mit einem Bruch. Folgenden vorgestellten Verfahrens der Trennung der Variablen ist der Begriff des „Differentials“ von zentraler Bedeutung. In der Regel wird dies in der Schule schon behandelt. Dennoch wollen wir uns hier im Rahmen ei nes kleinen Exkurses nochmals daran. Das Differential einer Funktion: Man kann die bekannte Schreibweise y‘(x) für die erste Ableitung einer Funktion ersetzen durch das Differential der Funktion an der Stelle0. Schreibweise: Dies ist einleuchtend wenn man sich die geometrische Bedeutung der ersten Ableitung einer Funktion nochmals vor Augen hält: Sie beschreibt nämlich die Steigung des Graphen der Funktion y(x) an der Stelle x und damit die Veränderung des Wertes bei Änderung des x Wertes genau an dieser Stelle. Bei linearen Funktionen oder durchschnittlichen Änderungsraten wird die Steigung über das ...

... rechtseitige Funktion f(x0,y) ist über ganz f definiert und stetig. Weisen Sie die eindeutige Lösbarkeit des AWP in einer Umgebung von x0 nach und bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung mit dem gegebenen AWP. Lösung nach dem Verfahren der Trennung der Variable n: Die Differentialgleichung hat die Struktur einer separierbaren DGL mit ...

... Der Professor weiß nach einigen Messungen, dass der Kaffee aus der Kaffeemaschine eine Temperatur von 8°C hat. AWP. Die Temperatur in den Räumen der Universität beträgt T(U) = 20°C. Nach x Minuten hat sich der Kaffee auf eine Temperatur von T(minFG°C) abgekühlt. Die Trinktemperatur des Kaffees soll T = 8°C betragen. Prof. Zahl geht vom Newtonschen Abkühlungsgesetz aus ...

...Anschließend wird die Gleichung zur Potenz von e erhoben und die neue Konstante C eingeführt. Mit der Anfangswertbedingung 0, dass T = 8°C ist berechnet man C. Die Konstante k lässt sich mit der zweiten Bedingung berechnen, dass die Temperatur des ...

... dazu rechnet um den Kaffee in aller Ruhe trinken zu können, muss der Professor sich den Kaffee also etwa eine halbe Stunde vor der Vorlesung zubereiten Anwendungsbeispiel: Logistisches Wachstum Wachstumsprozesse spielen in den verschiedenen Disziplinen eine große Rolle. Am einfachsten ist der Ansatz, dass die Wachstumsrate proportional zum vorhandenen Bestand ist. Ein solches Wachstum würde jedoch keine Grenzen kennen und ist daher auch nicht realistisch. Immer gibt es äußere Faktoren die einen Wachstum ...

... Insulanern ist bekannt, dass sie nicht gerne auf Reisen gehen und ein eher isoliertes Dasein pflegen. Allerdings gibt es eine Ausnahme. Es ist der Inhaber des einzigen Supermarktes auf der Insel. Er geht einmal jährlich auf eine Geschäftsreise ins Ausland, um neue Konditionen für seine Warenlieferungen auszuhandeln. Bei seiner letzten Reise infizierte er sich unglücklicherweise mit ein er ansteckenden Krankheit, gegen den die Insulaner keine Resistenz besitzen. Kurz nach seiner Ankunft treten die ersten Symptome auf. Da ist es aber bereits zu spät. Schon ist er in dieser Zeit mit einer Reihe von anderen Bewohnern, Chauffeur, Angestellte des Marktes, Familienmitgliedern zusammen gewesen und die Krankheit beginnt sich auszubreiten. Schon nach vier Tagen sind weitere 88 Bewohner mit dem Erreger ...

... J ist eine separierbare Differentialgleichung mit g(t). Zunächst werden die Variablen des totalen Differential getrennt. Um die Funktion auf der linken Seite integrieren zu können, muss zunächst eine Partialbruchzerlegung durchgeführt werden. Das Nennerpolynom liegt bereits in der Darstellung der Linearfaktoren vor mit den beiden einfachen Nullstellen ...

... Die Integrationskonstante A muss über die Anfangswertbedingung bestimmt werden. Sie lautet y(8)=0, da zum Zeitpunkt 8 nur eine Person 0 nämlich der Inhaber des Supermarktes infiziert war. Daraus berechnet sich A folgendermaßen ...

... anfertigen und sieht sofort, dass man sich erst am Anfang einer Krankheitswelle befindet. Da der Klinikaufenthalt eines Patienten mit dieser Krankheit wie bereits erwähnt etwa drei Tage dauert, kommen in den ...