Bernoulli'sche und Riccati'sche Differentialgleichung von Dipl.-Met. Rolf Tautkus

Über den Vortrag

Dieses Kapitel befasst sich mit zwei weiteren Spezialformen von Differentialgleichungen 1. Ordnung, der Bernoulli'schen und Riccati'schen Differentialgleichung. Beide können durch Substitutionen auf lineare Differentialgleichungen erster Ordnung zurückgeführt und mit den Methoden der Variation der Konstanten bzw. dem Ansatz vom Typ der rechten Seite gelöst werden. Abschließend wird als Beispiel aus der Mechanik der freie Fall einer Kugel betrachtet. Die Berücksichtigung der Luftreibung führt auf eine Riccati'sche Differentialgleichung.

Der Vortrag „Bernoulli'sche und Riccati'sche Differentialgleichung“ von Dipl.-Met. Rolf Tautkus ist Bestandteil des Kurses „Differentialgleichung“. Der Vortrag ist dabei in folgende Kapitel unterteilt:

Übersicht
Die Bernoulli'sche Differentialgleichung
Die Riccati'sche Differentialgleichung
Mathematisches Beispiel
Differentialgleichung für einen Körper im freien Fall
Die Bewegungsgleichung
Der freie Fall einer Holzkugel

Quiz zum Vortrag

Es sei y = y(x). Dann handelt es sich bei der Differentialgleichung y' = f(x)y + g(x)y^(3) um eine Bernoullische Differentialgleichung. Welche Substitutionen müssen zur Lösung dieser Gleichung durchgeführt werden?

z = y^(-2)
z' = (-2)y'y^(-3)
z = y^(-3)
z' = 2y'y^(-3)

Was ist die korrekte Form der Bernoulli Differentialgleichung?

y´(x) = f(x) * y(x) + g(x) * y^α(x)
f´(x) = f(x) / y(x) + g(x) * y^α(x)
y´(x) = f(x) / y(x) + g(x) * y^α(x)
y´(x) = f(x) * y(x) + g(x) * y^x

Wie erhält man die Lösung für den ersten Schritt zur Lösung einer Riccatischen Differentialgleichung?

Man erhält die spezielle Lösung durch Erraten.
Man erhält die spezielle Lösung durch Trennung der Variablen.
Man erhält die spezielle Lösung durch geschickte Substitutionen.
Man erhält die spezielle Lösung durch den Ansatz vom Typ der rechten Seite.

Eine Riccatische Differentialgleichung kann auf eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung zurückgeführt und gelöst werden. Wieviel Substitutionen müssen dazu durchgeführt werden?

Die Bewegungsgleichung für einen Körper im freien Fall mit Berücksichtigung der Luftreibung erhält man durch die Lösung einer Riccatischen Differentialgleichung. Wie bestimmt man hier die spezielle Lösung, die man am Anfang braucht, um die Gleichung bearbeiten zu können?

Man betrachtet den stationären Zustand der Bewegung, der sich zu einem Zeitpunkt t gegen Unendlich einstellt.
Man betrachtet den Zustand der Bewegung zum Zeitpunkt t gleich Null, wenn die Geschwindigkeit Null ist.
Man betrachtet den Zustand der Bewegung zum Zeitpunkt t, wenn die Beschleunigung maximal ist.
Man betrachtet den Zustand der Bewegung zu einem willkürlich gewählten Zeitpunkt.

Welcher Ausdruck stellt die Riccatische Differentialgleichung dar?

y´(x) = f(x) * y(x)² + g(x) * y(x) + h(x)
y´(x) = f(x) * y(x)^α + g(x) * y(x) + h(x)
y´(x) = f(x) / y(x) + g(x) * y^α(x)
y´(x) = f(x) * y(x) + g(x) * y^α(x)

Welche Aussagen stufen Sie als richtig ein?

Bei der Bernoullischen Differentialgleichung muss mit z(x) = y^1-α(x) substituiert werden.
Bei der Riccatischen Differentialgleichung muss mit z(x) = y(x) - y1(x) substituiert werden.
Bei der Bernoullischen Differentialgleichung muss zunächst eine spezielle Lösung y1(x) bestimmt werden.
Bei der Bernoullischen Differentialgleichung muss mit z(x) = y(x) - y1(x) substituiert werden.

Dozent des Vortrages Bernoulli'sche und Riccati'sche Differentialgleichung

Dipl.-Met. Rolf Tautkus

Rolf Tautkus studierte Mathematik, Physik und Meteorologie in Karlsruhe und Berlin und schloss sein Studium als Diplom-Meteorologe an der Freien Universität Berlin ab. Anschließend arbeitete er mehrere Jahre als Übungsleiter für Studenten der Meteorologie und war Mitarbeiter bei der täglich erscheinenden Berliner Wetterkarte. Auch im Bereich Printmedien, Rundfunk und Fernsehen sammelte er redaktionelle Erfahrung. Angeregt durch die positiven Erfahrungen als Tutor an der Universität ist er seit vielen Jahren als freier Dozent im Auftrag verschiedener Unternehmen tätig. Dazu gehört insbesondere die Betreuung von Studenten der Wirtschafts- und Ingenieurwissenschaften an der BTU Cottbus und TH Wildau im Fach Mathematik. Seit Herbst 2012 ist er Autor bei Lecturio.

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