Grundlagen der Differentialrechnung von Dipl.-Met. Rolf Tautkus

Über den Vortrag

Zunächst wird die Rolle von Differentialgleichungen im Kontext des wissenschaftlichen Erkenntnisprozesses dargestellt. Anschließend werden die Merkmale erörtert, nach denen Differentialgleichungen klassifiziert werden können. Die sich daraus ableitende Einteilung der Differentialgleichungen ist von großer Bedeutung für die Auswahl des passenden Lösungsalgorithmus. Die Frage nach der Eindeutigkeit von Lösungen von Randwertproblemen wird aufgeworfen und mit dem Satz von Picard-Lindelöf beantwortet.

Der Vortrag „Grundlagen der Differentialrechnung“ von Dipl.-Met. Rolf Tautkus ist Bestandteil des Kurses „Differentialgleichung“. Der Vortrag ist dabei in folgende Kapitel unterteilt:

Einleitung
Mathematische Form von Differentialgleichungen
Systemmodellierung mit Differentialgleichungen
Klassifikationsmerkmale von Differentialgleichungen
Anfangswert- und Randwertbedingungen
Nicht-eindeutige Randwertprobleme
Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
Anwendungsbeispiel für den Satz von Picard-Lindelöf

Quiz zum Vortrag

Welche der folgenden Beispiele ist keine Differentialgleichung?

y(x) - cos(y(x)) - 6 = 0
y'(x) - y(x) = 0
sin(y'(x)) = 0,5
y'(x) = 3x

Welche Aussagen über Differentialgleichungen stufen Sie als falsch ein?

Die Lösungen einer Differentialgleichungen sind Zahlen.
Eine Differentialgleichung besteht ausschließlich aus Ableitungsfunktionen.
Differentialgleichungen stellen eine Beziehung zwischen einer Funktion und deren Ableitungsfunktionen her.
Mit Hilfe der Differentialgleichung lässt sich immer die Ursprungsfunktion y rekonstruieren.

Eine homogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung besitzt ...

...den Grad 1.
...die Steuerfunktion f(x) = 0.
...nur lineare Koeffizienten.
...als höchste vorkommende Ableitungsfunktion y'(x).

Eine Differentialgleichung ist linear,...

...wenn sie höchstens den 1. Grad besitzt.
...wenn sie nach der höchsten vorkommenden Ableitung umgestellt werden kann.
...wenn für ihr Steuerfunktion f(x) = 0 gilt.
...wenn die Lösungsfunktion nur von einer Variablen abhängig ist.

Welche Aussagen treffen auf die Differentialgleichung y´´´(x) = 2x^4 * y(x) - 5x^2 + 6x zu?

Es ist eine Differentialgleichung 3. Ordnung.
Es ist eine Differentialgleichung 4. Grades.
Es ist eine Differentialgleichung 4. Ordnung.
Es ist eine Differentialgleichung 3. Grades.

Wieviele zusätzliche Informationen über den Verlauf der Lösungsfunktion und / oder ihrer Ableitungsfunktionen (Randwertbedingungen) sind notwendig, um alle Integrationskonstanten im Falle einer Differentialgleichung 3. Ordnung und 2. Grades bestimmen zu können?

Eine nicht lineare, homogene Differentialgleichung 2. Ordnung und 3. Grades hat keine eindeutige Lösung, wenn...

...es mehr als zwei gültige Lösungen des Randwertproblems gibt.
...es mehr als eine gültige Lösungen des Randwertproblems gibt.
...es eine gültige Lösung 2. Grades des Randwertproblems gibt.
...es eine gültige Lösung 1. Grades des Randwertproblems gibt.

Welche Aussage(n) über den Satz von Picard-Lindelöf trifft (treffen) zu?

Er garantiert die eindeutige Lösungbarkeit eines Randwertproblems in einem Intervall.
Er gilt für alle Differentialgleichungen.
Er garantiert die Lösbarkeit eines Randwertproblems.
Er garantiert die Lösbarkeit einer Differentialgleichung in einem Intervall.

Wann erfüllt eine über einem Gebiet stetige Funktion f(x,y) die Lipschitz-Bedingung?

Nur dann, wenn für die Lipschitz-Konstante ein endlicher positiver Wert eingesetzt werden kann
Nur dann, wenn für die Lipschitz-Konstante ein endlicher negativer Wert eingesetzt werden kann.
Nur dann, wenn für die Lipschitz-Konstante der Wert Null eingesetzt werden kann.
Nur dann, wenn für die Lipschitz-Konstante ein Wert ungleich Null eingesetzt werden kann.

Dozent des Vortrages Grundlagen der Differentialrechnung

Dipl.-Met. Rolf Tautkus

Rolf Tautkus studierte Mathematik, Physik und Meteorologie in Karlsruhe und Berlin und schloss sein Studium als Diplom-Meteorologe an der Freien Universität Berlin ab. Anschließend arbeitete er mehrere Jahre als Übungsleiter für Studenten der Meteorologie und war Mitarbeiter bei der täglich erscheinenden Berliner Wetterkarte. Auch im Bereich Printmedien, Rundfunk und Fernsehen sammelte er redaktionelle Erfahrung. Angeregt durch die positiven Erfahrungen als Tutor an der Universität ist er seit vielen Jahren als freier Dozent im Auftrag verschiedener Unternehmen tätig. Dazu gehört insbesondere die Betreuung von Studenten der Wirtschafts- und Ingenieurwissenschaften an der BTU Cottbus und TH Wildau im Fach Mathematik. Seit Herbst 2012 ist er Autor bei Lecturio.

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Auszüge aus dem Begleitmaterial

... theoretischer Hinsicht zu neuen Erkenntnissen zu gelangen. Das kann wiederum zu einer Verfeinerung des mathematischen Modells führen. Man mag im ersten Augenblick denken, dass dieses Thema nur Naturwissenschaftler und Ingenieure betrifft. Aber Differentialgleichungen finden dabei weit über diese Disziplinen hinaus Anwendung zur Lösung von Problemen: Fragestellungen nach der Entwicklung von Populationen einer Spezies in der Biologie, dem Ablauf einer chemischen Reaktion, der Ausbreitung einer Infektionskrankheit oder die Chancen eines Produktes am Markt erfordern zu ihrer Lösung den Einsatz von Differentialgleichungen. Sie sehen also, die Anwendungsmöglichkeiten sind vielfältig. Entsprechenden Raum nehmen die Vorlesungen zu Differentialgleichungen in der Höheren Mathematik ein Wir werden uns hier mit einer speziellen Gruppe, den ...

... Lösungsverfahren gibt, sondern vielmehr je nach Typus der Gleichung ein geeignetes Verfahren einzusetzen ist. Daher steht am Anfang immer die Einordnung der Differentialgleichung nach bestimmten Merkmalen, bevor es um die Auswahl eines Lösungsverfahrens geht. Und schließlich stellen wir uns die Frage, ob immer gewährleistet ist, dass die Lösung einer Differentialgleichung eindeutig ist oder welche Bedingungen dafür an die Differentialgleichung gestellt werden müssen. Schon jetzt sei darauf hingewiesen, dass die Eindeutigkeit einer Lösung durchaus nicht selbstverständlich ist. Was sind Differentialgleichungen? Differentialgleichungen stellen eine Beziehung her zwischen einer zunächst unbekannten Funktion y und ihren Ableitungsfunktionen. Nicht notwen ...

... können, braucht man unter anderem die Verfahren, die wir im Laufe dieser Vortragsreihe kennenlernen werden. Klassifikation von Differentialgleichungen: Wie bereits anfangs erwähnt, orientieren sich die bekannten Lösungsalgorithmen am Typus einer Differentialgleichung Daher ist es zunächst notwendig, eine Reihe von Begriffen zu erklären, die für die Klassifikation von Differentialgleichung herangezogen werden. Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen. Die Funktion y, die eine Differentialgleichung erfüllt, kann selbst von einer oder mehreren Variablen abhänge. Hängt die Lösungsfunktion von mehreren Variablen ab, ist also ...

... Ist es möglich, diese Differentialgleichung analytisch, also unter Verwendung von Äquivalenzumformungen, so umzustellen, dass die höchste vorkommende Ableitung auf einer Seite isoliert wird, nennt man sie explizit. Die allgemeine mathematische Form sieht dann so aus … Dass es bei dieser Klassifizierung nicht auf die reine Schreibweise ankommt, sondern auf die reine Möglichkeit, die Differentialgleichung nach der höchsten ...

... die Ordnung einer Differentialgleichung: Die Differentialgleichung ... ist also eine Differentialgleichun F. Ordnung: Der Grad einer Differentialgleichung kann nur dann definiert werden, wenn sie als Polynom darstellbar ist. Dann ist der Grad der Differentialgleichung die höchste vorkommende Summe der Potenzen von ... bzw der Ableitungsfunktionen innerhalb eines Summanden des Polynoms ... Wie Sie sehen, ist der Grad der Differentialgleichung fünf, denn die zweite Ableitung des ersten Terms wird zur dritten Potenz erhoben und ...

... die Erdbeschleunigung. Orientiert man die y-Achse mit ihrer positiven Richtung nach oben, so wirkt die Erdbeschleunigung stets nach unten zum Erdmittelpunkt, bekommt also ein negatives Vorzeichen. Die Reibungskraft, die mit dem Quadrat der Geschwindigkeit wächst, wirkt der Fallbewegung entgegen, ist also positiv. Es ergibt sich die folgende Differentialgleichung ... Dabei handelt es sich um eine gewöhnliche Differentialgleichung, denn die Geschwindigkeit des fallenden Körpers ... hängt lediglich von der Zeit t, also einer einzigen Variablen ab. Es ...

... eine homogene, lineare Differentialgleichung F. Ordnung: Die Aufgabenstellung besteht darin, die Funktion ... durch zweimaliges Integrieren zu bestimmen und müsste Ihnen bereits von der Schule aus der Integralrechnung bekannt vorkommen Wir führen die Integration durch und erhalten ... Als Lösung erhalten wir eine Geradengleichung mit den zwei Unbekannten A und B. Dies sind die Integrationskonstanten, die wir einführen müssen, weil durch das Differenzieren einer Funktion Informationen verloren gehen ...

... Die Randwertbedingung ist gegeben durch ... Offensichtlich ist ... eine Lösung, aber auch ..., wie man durch einsetzen leicht nachweisen kann. Die Lösung des Randwertproblems ist also nicht eindeutig. Man kann die Existenz einer eindeutigen Lösung eines Anfangs- oder Randwertproblems nicht an der Differentialgleichung ablesen. Daher hat es viele Mathematiker beschäftigt, ob sich eine Bedingung oder Anforderung an die Differentialgleichung formulieren lässt, so dass bei deren Erfüllung die Eindeutigkeit der Lösung eines Randwertproblems garantiert werden kann ...

... unserer Anwendungsbeispiele anwenden, so geschieht das, um zu prüfen, ob die Annahmen, die zur Aufstellung der Differentialgleichungen geführt haben, nicht im Widerspruch mit einer eindeutigen Lösbarkeit des Problems stehen. Bemerkungen: Der Satz wurde für Differentialgleichungen erster Ordnung formuliert. Da man aber Differentialgleichungen höherer Ordnung durch Substitution der Ableitungsfunktionen in ein System von Gleichungen erster Ordnung überführen kann, ist es möglich, die Aussage des Satzes auch auf Gleichungen höherer Ordnung ausweiten ...

... Beispiel: Gegeben sei die folgende Differentialgleichung mit dem AWP ... Man prüfe, ob ein AWP im Gebiet ... eine eindeutige Lösung besitzt. Die Funktion ... ist im gesamten ... definiert und stetig. Einsetzen der rechten Seite der Differentialgleichung in die Lipschitz-Bedingung ergibt ... Nach kurzer Diskussion des Quotienten hinsichtlich lokaler und globaler Extrema sieht man schnell, dass der Wertebereich durch ... gegeben ist. Es existiert also eine Lipschitzkonstante ..., womit die Voraussetzung für ...