Potenzreihenansatz von Dipl.-Met. Rolf Tautkus

Über den Vortrag

Im letzten Kapitel der Vortragsreihe geht es um den Ansatz, eine Differentialgleichung mit Hilfe einer Potenzreihenentwicklung zu lösen. Diese Methode sollte immer dann angewendet werden, wenn alle anderen analytischen Verfahren versagen. In der Regel erhält man durch die vorgestellte Methode eine Näherungslösung in einem begrenzten Intervall um den Entwicklungspunkt. Die Anfangswertproblematik und die durch weiteres Ableiten der Differentialgleichung gewonnenen rekursiven Gleichungen für die höheren Ableitungen der Lösungsfunktion liefern die Werte für die Potenzreihenentwicklung. Wichtig wird hier die Fehlerabschätzung, die eine Aussage darüber ermöglicht, wie groß der Bereich ist, in dem die Näherungslösung sinnvoll eingesetzt werden kann. Als Grundlage für die Fehlerabschätzung dient die Restgliedformel von Lagrange.

Der Vortrag „Potenzreihenansatz“ von Dipl.-Met. Rolf Tautkus ist Bestandteil des Kurses „Differentialgleichung“. Der Vortrag ist dabei in folgende Kapitel unterteilt:

Überblick
Die Taylorreihe
Bestimmung der Näherungslösung
Anwendung auf den freien Fall
Die Restgliedformel von Lagrange
Fehlerabschätzung

Quiz zum Vortrag

Wie lautet das Bildungsgesetz für die Reihenglieder einer Taylorreihe der Funktion y(x) mit dem Entwicklungspunkt xo?

Das Reihenglied wird gebildet durch den Quotienten aus der n-ten Ableitung der Funktion y(x) an der Stelle xo und der Fakultät von n.
Das Reihenglied wird gebildet durch das Produkt der n-ten Ableitung der Funktion y(x) an der Stelle xo und der Fakultät von n.
Das Reihenglied wird gebildet durch den Quotienten aus der n-ten Ableitung der Funktion y(x) und der Fakultät von n.
Das Reihenglied wird gebildet durch das Produkt der n - ten Ableitung der Funktion y(x) und der Fakultät von n.

Eine Funktion y(x) wurde bis zu einem Polynom 4. Grades in eine Taylorreihe entwickelt. Welche Aussage(n) treffen auf das Restglied R der Reihe zu?

Das Restglied ist im Allgemeinen ein Polynom 5. Grades.
Das Restglied ist die Differenz zwischen der Funktion y(x) und ihrer Reihenentwicklung bis zum 4. Grad.
Das Restglied ist ein Polynom 4. Grades.
Das Restglied ist die Differenz zwischen der Funktion y(x) und ihrer Reihenglied bis zum 4. Grad.

Welche Aussage über den Potenzreihenansatz ist nicht richtig?

In der Praxis kann man eine Reihe immer bis zu einem unendlichen Reihenglied k entwickeln.
Funktionen können grundsätzlich als Potenzreihe dargestellt werden.
Man erhält als Lösung lediglich eine Näherung der Funktion in der Umgebung des Entwicklungspunktes.
Alle Aussagen sind richtig.

Für eine Differentialgleichung 4. Ordnung benötigt man für eine eindeutige Lösung...

...vier Anfangswertbedingungen.
...drei Anfangswertbedingungen.
...drei Integrationskonstanten.
...vier Integrationskonstanten.

In einer Umgebung des Entwicklungspunktes xo wird die Funktion y(x) näherungsweise durch eine Taylorreihe des Grades k dargestellt, wobei k eine endliche natürliche Zahl ist. Der Wert x sei Element der Umgebung. Was wird mit der Restgliedformel von Lagrange berechnet?

Man berechnet die obere Schranke des Fehlers an der Stelle x.
Man berechnet den exakten Fehler an der Stelle x.
Man berechnet die untere Schranke des Fehlers an der Stelle x.
Man berechnet den Fehler im Intervall zwischen x und dem Entwicklungspunkt xo.

Der Fehler durch die Verwendung einer Näherung,...

...ist von der Problemstellung abhängig.
...wird durch die Definitionsmenge bestimmt.
...bestimmt den Entwicklungspunkt.
...ist durch das Restglied festgelegt.

Was gilt für den Fehler, den man mit der Verwendung einer Näherungslösung in Form einer unvollständig entwickelten Taylorreihe macht?

Je weiter man sich vom Entwicklungspunkt entfernt, desto größer der Fehler.
Je größer der Grad des entwickelten Polynoms, desto kleiner der Fehler.
Je näher man sich am Entwicklungspunkt befindet, desto größer der Fehler.
Je kleiner der Grad des entwickelten Polynoms, desto größer der Fehler.

Dozent des Vortrages Potenzreihenansatz

Dipl.-Met. Rolf Tautkus

Rolf Tautkus studierte Mathematik, Physik und Meteorologie in Karlsruhe und Berlin und schloss sein Studium als Diplom-Meteorologe an der Freien Universität Berlin ab. Anschließend arbeitete er mehrere Jahre als Übungsleiter für Studenten der Meteorologie und war Mitarbeiter bei der täglich erscheinenden Berliner Wetterkarte. Auch im Bereich Printmedien, Rundfunk und Fernsehen sammelte er redaktionelle Erfahrung. Angeregt durch die positiven Erfahrungen als Tutor an der Universität ist er seit vielen Jahren als freier Dozent im Auftrag verschiedener Unternehmen tätig. Dazu gehört insbesondere die Betreuung von Studenten der Wirtschafts- und Ingenieurwissenschaften an der BTU Cottbus und TH Wildau im Fach Mathematik. Seit Herbst 2012 ist er Autor bei Lecturio.

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Auszüge aus dem Begleitmaterial

... aufgrund ihres Aufbaus gar nicht mit einer dieser Methoden lösbar ist. Daher möchte ich Ihnen an dieser Stelle eine alternative Möglichkeit vorstellen, die uns schon in Richtung numerische Lösungsmethoden führt. Wir machen uns die Tatsache zunutze, dass man Funktionen grundsätzlich als Potenzreihen darstellen kann. Der Ansatz einer Potenzreihe für eine Funktion yx lautet ganz allgemein. Den Wert x in der Klammer nennt man Entwicklungspunkt. ...

... Beispiel: Zu lösen ist die Differentialgleichung. Das Polynom soll als Taylorreihe bis zum Grad sechs um den Punkt x = 0 entwickelt werden. Da wir es hier mit einer Differentialgleichung 7. Ordnung zu tun haben, brauchen wir für eine eindeutige Lösung auch drei Anfangswertbedingungen für die Integrationskonstanten,die wir aus dem letzten ...

... Nach Einsetzen in die Taylorreihe erhalten wir

... diesen Werten erhalten wir die folgende Funktion.

... der Problemstellung ab und muss für jeden Fall neu beantwortet werden. Ein Maß für den Fehler den wir an einer bestimmten Stelle x durch die Anwendung des Näherungspolynoms machen, ist durch das Restglied der Taylorreihe bestimmt. Nach Lagrange besteht die Möglichkeit den Fehler nach oben durch die folgende Formel abzuschätzen. Der entscheidende Punkt ist hier, dass man den maximalen Betrag der Ableitung der Lösungsfunktion im Intervall zwischen dem Entwicklungspunkt x und einem bestimmten Wert x bestimmen mus ...

... Zeitpunktt erreicht wird. In der rechtsseitigen Umgebung des Entwicklungspunktes bis t. Es wird zum betragsmäßig maximalen Wert f der durch 5g negativ ist, ein positiver Wert addiert. Der Betrag der Klammer kann also nach oben abgeschätzt werden indem man den zweiten Term einfach weglässt. Damit lautet die Abschätzung des relativen Fehlers nach Einsetzen der Konstanten...