Exakte Differentialgleichung von Dipl.-Met. Rolf Tautkus

Über den Vortrag

Gegenstand dieses Kapitels ist ein besonderer Typus von Differentialgleichung, den man exakte oder auch totale Differentialgleichung nennt. Die Besonderheit besteht in der Darstellung der Lösungsfunktion in impliziter Schreibweise. Sie lernen in diesem Zusammenhang auch die Integrabilitätsbedingung kennen, die erfüllt sein muss, damit diese Form der Differentialgleichung als das totale Differential einer Funktion zweier Variablen interpretiert werden kann. Im allgemeinen Fall muss mit einem sogenannten Eulerschen Multiplikator die Form einer exakten Differentialgleichung hergestellt werden. Typische Beispiele sind die Potentiale von Feldgrößen, die sich aus solchen Differentialgleichungen ergeben. Im Rahmen dieser Vorlesung wird untersucht, auf welchen Bahnen sich eine elektrische Ladung energiefrei in einem radialsymmetrischen Feld bewegen kann, den sogenannten Äquipotentiallinien.

Der Vortrag „Exakte Differentialgleichung“ von Dipl.-Met. Rolf Tautkus ist Bestandteil des Kurses „Differentialgleichung“. Der Vortrag ist dabei in folgende Kapitel unterteilt:

Überblick
Das totale Differential
Die partielle Ableitung
Exakte Differentialgleichungen
Die Integrabilitätsbedingung
Der Lösungsalgorithmus
Mathematisches Beispiel 1
Der Integrierende Faktor
Mathematisches Beispiel 2
Anwendung: Das elektrische Potential

Quiz zum Vortrag

Die gesamte Veränderung einer Funktion f(x,y) ist...

...die Summe aus der Veränderung nur in Richtung der x-Variablen und nur in Richtung der y-Variablen.
...die Summe aus der Veränderung in Richtung der x- und y-Variablen.
...die Differenz aus der Veränderung in Richtung der x- und y- Variablen.
...die Summe aus der Veränderung nur in Richtung der z-Variablen und nur in Richtung der y-Variablen.

Wie lautet das totale Differential der folgenden Funktion: f(x,y) = x(x+y) ?

df(x,y) = (2x+y)dx + xdy
df(x,y) = (2x+1)dx + 1dy
df(x,y) = (2x+1)dx + ydy
df(x,y) = (x+y)dx + xdy

Gegeben ist die Differentialgleichung P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0. Wann erfüllen die Funktionen P(x,y) und Q(x,y) die Integrabilitätsbedingung?

Die partielle Ableitung von P(x,y) nach y ist gleich der partiellen Ableitung von Q(x,y) nach x.
Die partielle Ableitung von P(x,y) nach x ist gleich der partiellen Ableiung von Q(x,y) nach y.
Die partielle Ableitung von P(x,y) nach x ist gleich der partiellen Ableitung von Q(x,y) nach x.
Die partielle Ableitung von P(x,y) nach y ist gleich der partiellen Ableitung von Q(x,y) nach y.

Wann spricht man bei einer Differentialgleichung der Form P(x,y)dx + Q(x,y)dy = C von einer exakten Differentialgleichung?

Wenn C = 0 ist.
Wenn P(x,y) und Q(x,y) die Integrabilitätsbedingung erfüllen.
Wenn C eine beliebige reelle Zahl ist.
Immer, wenn eine Differentialgleichung die obige Form hat.

G(x,y) ist implizite Lösungsfunktion der exakten Differentialgleichung P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0. Wie bestimmt man G(x,y)?

Durch Integration von Q(x,y) nach y.
Durch Integration von P(x,y) nach y.
Durch Integration von Q(x,y) nach x.
Durch Integration von P(x,y) nach x.

Welche Gleichungen sind richtig, wenn die Integrabilitätsbedingungen durch P(x,y) und Q(x,y) erfüllt sind?

Q(x,y) = ∂ [∫ P(x,y)dx] / ∂ y + φ´ (y)
G(x,y) = ∫ Q(x,y)dx + φ (y) = C
∂ G / ∂ x = P(x,y)
∂ G / ∂ x = Q(x,y)

Um die Lösung einer Differentialgleichung der Form P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 zu erhalten, braucht man gelegentlich den sogenannten Integrierenden Faktor. Welche der folgenden Aussagen ist NICHT richtig?

Der integrierende Faktor ist eine Funktion M(x,y).
Der integrierende Faktor ändert die Lösungsmenge der Differentialgleichung nicht.
De integrierende Faktor überführt die Differentialgleichung in eine exakte Differentialgleichung.
Der integrierende Faktor ist immer eine Konstante.

Nachdem eine Differentialgleichung mit dem Eulerschen Multiplikator multipliziert wurde...

...erfüllt sie die Integrabilitätsbedingung.
...entsteht ihre implizite Lösung.
...entsteht ihre partielle Ableitung.
...keine der Antworten ist richtig.

Eine fundamentale Gleichung in der Physik ist, dass Arbeit gleich dem Skalarprodukt aus den vektoriellen Größen Kraft und Weg ist. In welchen Fällen ist die verrichtete Arbeit gleich Null?

Wenn Kraft- und Wegvektor senkrecht aufeinander stehen.
Wenn Kraft- und Wegvektor parallel zueinander sind.
Wenn Kraft- und Wegvektor antiparallel zueinander sind.
Wenn der Vektor für die Arbeit entweder senkrecht zum Kraft- oder Wegvektor steht.

Wie lautet die allgemeine Ausgangsgleichung einer exakten oder totalen Differentialgleichung?

y´(x) = - P(x,y) / Q(x,y)
y´(x) = - Q(x,y) / P(x,y)
y´(x) = P(x,y) / Q(x,y)
y´(x) = Q(x,y) / P(x,y)

Dozent des Vortrages Exakte Differentialgleichung

Dipl.-Met. Rolf Tautkus

Rolf Tautkus studierte Mathematik, Physik und Meteorologie in Karlsruhe und Berlin und schloss sein Studium als Diplom-Meteorologe an der Freien Universität Berlin ab. Anschließend arbeitete er mehrere Jahre als Übungsleiter für Studenten der Meteorologie und war Mitarbeiter bei der täglich erscheinenden Berliner Wetterkarte. Auch im Bereich Printmedien, Rundfunk und Fernsehen sammelte er redaktionelle Erfahrung. Angeregt durch die positiven Erfahrungen als Tutor an der Universität ist er seit vielen Jahren als freier Dozent im Auftrag verschiedener Unternehmen tätig. Dazu gehört insbesondere die Betreuung von Studenten der Wirtschafts- und Ingenieurwissenschaften an der BTU Cottbus und TH Wildau im Fach Mathematik. Seit Herbst 2012 ist er Autor bei Lecturio.

Kundenrezensionen

(1)
5,0 von 5 Sternen

5 Sterne		5
4 Sterne		0
3 Sterne		0
2 Sterne		0
1 Stern		0

Auszüge aus dem Begleitmaterial

... kleinen Intervalls ist die Summe aus der lokalen Veränderung von f(x,y) Variablen x und der Veränderung Definition für die Steigung im Falle fx, yx fx, y Da im Falle einer Abhängigkeit der Funktion f von d en Variablen x und y g eine Fläche im ./dimensionalen Raum dargestellt wird beschreibt die partielle Ableitung nach x unseren Überlegungen zum Differential einer Funktion haben Sie bereits gesehen dass es sich dabei lediglich um die Übertragung des Konzept es des Steigungsdreiecks auf ein infinitesimal kleines Intervall handelt um lokale Änderungen ein es Funktionswertes zu beschreiben) Die leinen Steigungsdreiecks entsprach dabei der ersten Ableitung der Funktion f x" an einer bestimmten Stelle.Diese Idee wird jetzt auf Funktionen mit mehreren Variablen ...

... I nsbesondere wenn die Differentialgleichung im gesamten definiert ist, handelt es sich um ein einfach zusammenhängendes Gebiet. Erfüllen die Funktionen P xy" und Q xy" außerdem die Integrabilitätsbedingung dann nennt man die Differentialgleichung eine exakte oder auch totale Differentialgleichung und man kann diesen Ausdruck als das totale Differe ntial einer Funktion G + G xy" interpretieren das folgendermaßen definiert ist, ...

... Diese Funktionen sind sicher über dem gesamten stetig differenzierbar und es gilt die Integrabilitätsbedingung ist also erfüllt. Damit können wir mit dem obigen Ansatz dass die partielle Ableitung der Funktion G xy" gleich der Funktion P xy" ist fortfahren und ...

... bestimmten Voraussetzungen eine solche Differentialgleichung durch eine geeignete Umformung in eine exakte Differentialgleichung überführen und so lösen könne. Dazu die folgende Überlegung# Wenn wir die Differentialgleichung mit einer Funktion M xy" 0 multiplizieren so verändert sich ihre Lösungsmenge nicht. ...Wir erhalten D ... Beispiel: Gegeben sei die Differentialgleichung mit Die partiellen Ableitungen nach y und x ...

... frei werden noch Arbeit aufgebracht werden müssen. Das ist nur möglich wenn der Kraftvektor der an q angreift und der Vektor der Wegänderung orthogonal aufeinander stehen...

... Es ist leicht einzusehen dass daher gelten muss...

... x abgeleitet müssen gleich sein. Nach Anwendung der Produkt und Kettenregel erhält man 9 Die Integrabilitätsbedingung ist also erfüllt und wir haben es mit einer exakten Differentialgleichung zu tun. Jetzt suchen wir die Funktion W xy" die d iese Gleichung erfüllt) ( + ...

... Im Falle einer negativen Punktladung welche eine positive Probeladung anziehen würde ergibt sich als Schaubild der ...