Der Vortrag „Nicht separierbare Differentialgleichung lösen“ von Dipl.-Met. Rolf Tautkus ist Bestandteil des Kurses „Differentialgleichung“. Der Vortrag ist dabei in folgende Kapitel unterteilt:
Welche mathematische Form hat die Euler-homogene Differentialgleichung?
Welche Substitution(en) sind durchzuführen, um bei einer Euler-homogene Differentialgleichung eine Trennung der Variablen durchführen zu können?
Wie lautet die Produktregel?
Welche Substitution(en) müssen bei der Differentialgleichungen der Form y'(x) = f(ax+by+c) durchgeführt werden, um das Verfahren der Trennung der Variablen anwenden zu können?
Was muss für den Spezialfall der Differentialgleichung y´(x) = f(ax + bx +c) gelten?
Die Stromstärke I(t) in einer Reihenschaltung mit angelegter Gleichspannung Uo, Ohmschen Widerstand R und einer Spule der Induktivität L wird durch die Differentialgleichung L I'(t) = Uo - R I(t) beschrieben. Welcher Typus einer Differentialgleichung liegt vor?
Wann ist für ein Anfangswertproblem der folgenden Differentialgleichung I'(t) = (Uo/L) - (R/L) I(t) nach dem Satz von Picard-Lindelöf eine eindeutige Lösung garantiert?
Liegt eine Differentialgleichung der Form y´(x) = f (y/x) vor,...
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... zwei Spezialfälle der Jacobi’schen Differentialgleichung die folgende allgemeine Form hat. Spezialfall: Euler-homogene Differentialgleichung. Bei solchen Differentialgleichungen substituiere man ...
... Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt schließlich eine Form, die durch Trennung der Variablen lösbar ist. Hier müssen wir wieder eine Fallunterscheidung treffen. Für die weitere Berechnung muss der Term vorausgesetzt werden, sonst kann man nicht dividieren. Für den anderen Fall ergibt sich die Lösungsfunktion. Als Stammfunktionen auf den beiden Seiten der Gleichung erhalten wir Anschließend erhebt man beide Seiten der Gleichung zur Potenz von e und definieren neu die Konstante 9 = ...
... Die Lösung erfolgt durch die Substitution u-x/ 4 ax < by < c? Differenzieren nach x ergibt umgestellt nach y‘-x kann das in die ursprüngliche Differentialgleichung eingesetzt werden und ergibt eine Gleichung, bei der das Verfahren der Trennung der Variablen erfolgreich durchgeführt werden kann ...
... Lösung der letzten Gleichung erfolgt jetzt durch Integration auf beiden Seiten. Den Betrag können wir wie im letzten Beispiel weglassen und das Vorzeichen durch die Integrationskonstante berücksichtigen. Wir erhalten also und Auflösen nach u-x die Gleichung Jetzt müssen wir nur noch die Substitution rückgängig machen und nach y-x ...
... Es ist bekannt, dass beim Einschalten des Stroms, dieser nicht sofort seine maximale Stärke erreicht, sondern allmählich ansteigt. Es soll hier untersucht werden, welchen Gesetzen der Verlauf der Stromstärke I-t während des Einschaltvorgangs gehorcht. Das Schaltbild unten zeigt einen Versuchsaufbau mit einem Schalter. ...
... der Quotient X _ einen endlichen Wert annimmt, das heißt weder der Widerstand R unendlich groß noch die Induktivität L Null wird oder beides gleichzeitig eintritt. Die für R und L geforderten Bedingungen sind für unseren Fall aus physikalischer Sicht gegeben. Denn wäre L gleich Null, so hätten wir unsere Differentialgleichung gar nicht mehr, sondern einfach das Ohmsche Gesetz Q = Y U. Wäre hingegen R unendlich groß, könnte gar kein Strom mehr fließen und die einzige Lösung unseres Problems wäre ...
... Anschließend substituieren wir auf der rechten Seite der Gleichung sowie die nach I‘-t auf der linken Seite. Damit erhalten wir die Differentialgleichung. Hier gelingt es wieder, die Methode der Trennung der Variablen anzuwenden und anschließend zu integrieren ...