Differentialgleichungen höherer Ordnung von Dipl.-Met. Rolf Tautkus

Über den Vortrag

Die Anwendbarkeit analytischer Lösungsverfahren bei Differentialgleichungen höherer Ordnung ist beschränkt auf reduzierbare und lineare Differentialgleichungen. Der Schwerpunkt in dieser Einheit liegt auf der Erweiterung der Verfahren, die bereits im vierten Kapitel entwickelt wurden. Als Ergebnis der Nullstellenberechnung des charakteristischen Polynoms erhält man das Fundamentalsystem einer linearen Differentialgleichung, dessen Elemente jeweils Lösungen der Gleichung sind und in ihrer Gesamtheit als Linearkombination die homogene Lösung der Differentialgleichung bilden. Die partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung wird dann entweder über den Ansatz des Types der rechten Seite bestimmt, sofern die lineare Differentialgleichung konstante Koeffizienten besitzt oder über die Variation der Konstanten. Letztere Methode wird hier wegen des Aufwandes nur für Differentialgleichungen zweiter Ordnung behandelt, ist aber prinzipiell auch für höhere Ordnungen anwendbar.

Der Vortrag „Differentialgleichungen höherer Ordnung“ von Dipl.-Met. Rolf Tautkus ist Bestandteil des Kurses „Differentialgleichung“. Der Vortrag ist dabei in folgende Kapitel unterteilt:

Überblick
Reduzierbare Differentialgleichungen
Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Das Superpositionsprinzip
Das charakteristische Polynom
Das Fundamentalsystem
Erstes mathematisches Beispiel
Ansatz vom Typ der rechten Seite
Variation der Konstanten
Die Wronski-Determinante
Zweites mathematisches Beispiel

Quiz zum Vortrag

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine reduzierbare Differentialgleichung?

y'''(x) = f(x,y'')
y'(x) = f(x,y)
y'''(x) = f(x,y')
y''(x) = f(x,y'')

Die Lösung des homogenen Falls des Superpositionsprinzips...

...besteht aus der Summe unabhängiger Teilfunktionen.
...besteht aus der Summe unabhängiger Fundamentalsysteme.
...besteht aus der Summe unabhängiger Teilfunktionen und Fundamentalsysteme.
...besteht aus der Summ unabhängiger Teilfunktionen und charakteristischer Polynome.

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

Mit dem Ansatz y(x)=e^(cx) erhält man das charakteristische Polynom einer linearen, homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten.
Mit dem Ansatz y(x)=e^(c(x)) erhält man das charakteristische Polynom einer linearen, homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten.
Mit dem Ansatz y(x)=e^(cx) erhält man das charakteristische Polynom einer linearen, inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten.
Mit dem Ansatz y(x)=e^(c(x)) erhält man das charakteristische Polynom einer linearen, homogenen Differentialgleichung mit beliebigen Koeffizienten.

Die Nullstellen für ein Polynom 5. Grades können...

...durch eine Polynomdivision gefunden werden.
...mit die Anwendung der p-q Formel gefunden werden.
...durch auflösen nach der Variablen gefunden werden.
...durch ein Fundamentalsystem gefunden werden.

Das charakteristische Polynom einer linearen Differentialgleichung hat als Lösung zwei einfache reele Nullstellen, eine dreifache reelle Nullstelle, und zwei komplexe einfache Nullstellen.Wie groß ist die Anzahl von Lösungsfunktionen, die das Fundamentalsystem dieser Differentialgleichung bilden?

Die homogene Lösung einer linearen Differentialgleichung erhält man...

...als Linearkombination der Lösungsfunktionen, die das Fundamentalsystem der Differentialgleichung bilden.
...als Summe der Lösungsfunktionen, die das Fundamentalsystem der Differentialgleichung bilden.
...als Produkt der Lösungsfunktionen, die das Fundamentalsystem der Differentialgleichung bilden.
...nach Auswahl einer beliebigen Lösungsfunktion des Fundamentalsystems.

Für 2 reellen Nullstellen eine Differentialgleichung muss...

...k = 2 gelten.
...m = 2 gelten.
...y(x) = x^m * e^(α + iβ) gelten.
...m = 0,...,3 gelten.

Die Steuerfunktion einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten lautet f(x) = (1+x)sin(2x). Außerdem sei die komplexe Nullstelle x = 2i des charakteristischen Polynoms bekannt. Wie lautet der Lösungsansatz für die partikuläre Lösung Yp(x)?

Yp(x) = ((A+Bx)sin(2x)+(C+Dx)cos(2x))x^2
Yp(x) = (A+Bx)sin(2x)+(C+Dx)cos(2x)
Yp(x) = ((C+Dx)cos(2x))x^2
Yp(x) = (Asin(2x)+Bcos(2x))x^2

Die Variation der Konstanten beruht auf der Lösung eines Gleichungssystems. Wie groß ist die Anzahl der Gleichungen, die benötigt werden, um das Verfahren auf eine lineare Differentialgleichung 3. Ordnung anzuwenden?

Wie lautet die Formel für die Konstante C1(x)?

- ∫ y2(x) * f(x) / W(y1,y2) (x) * dx
∫ y2(x) * f(x) / W(y1,y2) (x) * dx
- ∫ y1(x) * f(x) / W(y1,y2) (x) * dx
∫ y1(x) * f(x) / W(y1,y2) (x) * dx

Die Einzellösungen yi(x) mit i = 1,….,n einer linearen Differentialgleichungen bilden dann ein Fundamentalsystem, wenn die Wronski-Determinante…

...für mindestens einen Wert aus dem Definitionsbereich ungleich Null ist.
...im gesamten Definitionsbereich gleich Null ist.
...für einen Wert aus dem Definitionsbereich gleich Null ist.
...für alle Werte aus dem Definitionsbereich ungleich Null ist.

Dozent des Vortrages Differentialgleichungen höherer Ordnung

Dipl.-Met. Rolf Tautkus

Rolf Tautkus studierte Mathematik, Physik und Meteorologie in Karlsruhe und Berlin und schloss sein Studium als Diplom-Meteorologe an der Freien Universität Berlin ab. Anschließend arbeitete er mehrere Jahre als Übungsleiter für Studenten der Meteorologie und war Mitarbeiter bei der täglich erscheinenden Berliner Wetterkarte. Auch im Bereich Printmedien, Rundfunk und Fernsehen sammelte er redaktionelle Erfahrung. Angeregt durch die positiven Erfahrungen als Tutor an der Universität ist er seit vielen Jahren als freier Dozent im Auftrag verschiedener Unternehmen tätig. Dazu gehört insbesondere die Betreuung von Studenten der Wirtschafts- und Ingenieurwissenschaften an der BTU Cottbus und TH Wildau im Fach Mathematik. Seit Herbst 2012 ist er Autor bei Lecturio.

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Auszüge aus dem Begleitmaterial

... nur zwei Varianten die ein er analytischen Lösung zugänglich sind. 1.) reduzierbare Differentialgleichungen und 2.) lineare Differentialgleichungen& Reduzierbare Differentialgleichungen. Diese Differentialgleichungen dürfen nur benachbarte Ableitung einer Funktion y(x) enthalten, also zum Beispiel nur y‘‘(x) und y‘(x) oder y‘‘‘(x) und y‘‘(x). Dann können wir mit der Substitution... das Problem auf eine Differentialgleichung & Ordnung zurückführen und mit den ...

... Um y(x) zu erhalten müssen wir ein zweites Mal integrieren. Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, treten beim Lösen auch zwei Integrationskonstanten auf. Das Anfangswertproblem muss also zwei Informationen über die Funktion y(x) enthalten. Das können zwei Punkte sein die auf dem Graphen der Funktion liegen oder Informationen über die Steigung der Funktion in einem Punkt ...

... bilden die Basis für die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichungen und Ordnung und werden daher auch als Fundamentalsystem der Differentialgleichung bezeichnet. Das charakteristische Polynom: Nach den einleitenden Feststellungen wollen wir uns nun der Vorgehensweise zur Lösung einer linearen Differentialgleichung unter Ordnung mit konstanten Koeffizienten widmen. Zunächst betrachten wir die dazugehörende homogene Differentialgleichung, das heißt die Steuerfunktion f(x) wird gleich Null angenommen ...

... Beispiel: Gesucht ist die allgemeine Lösung zu folgender homogener Differentialgleichung B & Ordnung. Einsetzen des Ansatzesergibt das charakteristische Polynom zu ... Die Lösung des charakteristischen Polynoms ergibt die folgenden Nullstellen ... Die allgemeine Lösung ist also eine Linearkombination aller Funktionen des Fundamentalsystems der Differentialgleichung. Dabei haben D und E die Form ...

... Differentialgleichung gegeben ist durch ... oder einer Linearkombination aus beiden Teilfunktionen kommt man mit dem folgenden Ansatz meist recht gut zu einer speziellen Lösung ...

... Die Lösung für die homogene Differentialgleichung lautet also nach Addition der Basislösungen y.(x) und y;(x). Für die inhomogene Differentialgleichung können wir jetzt folgenden Ansatz machen. Da k = 0 und p = 1 wird die Konstante k 5. und das Polynom ...

... geschieht werden wir im weiteren Verlauf dieses Kapitels sehen. Zunächst setzen wir aber voraus, dass wir das Fundamentalsystem der Gleichung kennen und an der Auffindung einer speziellen Lösung für die inhomogene Gleichung interessiert sind. Der Ansatz vom Funktionstyp auf der rechten Seite führt für beliebige a(x) und b(x) nicht weiter. Deshalb wenden wir auch hier wie im Fall der linearen Differentialgleichungen. Ordnung G als alternative Möglichkeit das Verfahren der Variation der Konstanten an. Man ersetzt die Konstanten aus der Lösung für die zugehörige homogene Differentialgleichung durch Funktionen von x und erhält ...

... In unserem Fall multiplizieren wir eine × 2 Matrix mit einer 2 × 1 Matrix. Die erste der beiden Zahlen gibt immer die Anzahl der Zeilen und die zweite Zahl die Anzahl der Spalten an. Eine × 1 Matrix ist dabei nichts Anderes als ein Vektor in einem zweidimensionalen Raum. Geometrisch bedeutet ein Gleichungssystem immer dass wir einen Vektor mithilfe einer Abbildungsvorschrift auf einen Bildvektor projizieren. Ein lineares Gleichungssystem hat immer dann eine eindeutige Lösung wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix einen von Null ...

... Der Ausdruck im Nenner wird Wronski Determinante genannt ... Die Integration führt dann auf die Lösungen der variierten Konstanten ...

... Außerdem sei ein Fundamentalsystem der Differential gleichung bekannt. Man weise nach, dass die beiden Funktionen y.(x) und y;(x) tatsächlich ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung bilden und finde ...