Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung von Dipl.-Met. Rolf Tautkus

Über den Vortrag

Die Vorlesungseinheit beschäftigt sich mit den Lösungsmöglichkeiten linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung. Dabei wird zunächst das Superpositionsprinzip eingeführt. Anschließend werden das Verfahren vom "Typ der rechten Seite" als systematischer Ansatz für das Auffinden einer partikulären Lösung und die "Variation der Konstanten" als allgemeiner Lösungsansatz vorgestellt. Anwendung finden die Verfahren an einem Beispiel aus der Physik bzw. aus der Finanzmathematik. Im physikalischen Beispiel wird die Reihenschaltung eines Ohmschen Widerstand R und einer Spule mit der Induktivität L aus Kapitel 3 wieder aufgegriffen, diesmal mit angelegter Wechselspannung. Das Beispiel aus der Finanzmathematik betrachtet die Laufzeit eines Kredits bei stetiger Verzinsung.

Der Vortrag „Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung“ von Dipl.-Met. Rolf Tautkus ist Bestandteil des Kurses „Differentialgleichung“. Der Vortrag ist dabei in folgende Kapitel unterteilt:

Überblick
Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung
Das Superpositionsprinzip
Die homogene Lösung
Ansatz vom Typ der rechten Seite
Elektrotechnik: Stromstärke im Wechselstromkreis
Phasenverschiebung zwischen Spannung und Stromstärke
Variation der Konstanten
Finanzmathematik: Kredit mit stetiger Verzinsung

Quiz zum Vortrag

Wie lautet die allgemeine Form einer linearen Differentialgleichung 1. Ordnung?

a0(x) * y(x) + a1(x) * y´(x) = f(x)
a0(x) + y(x) + a1(x) * y´(x) = f(x)
a0(x) + y(x) * a1(x) + y´(x) = f(x)
a0(x) - y(x) * a1(x) - y´(x) = f(x)

Gegeben sei eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Yh(x) sei die homogene Lösung, Yp1(x) und Yp2(x) jeweils partikuläre Lösungen. Was sagt das Superpositionsgesetz über die allgemeine Lösung Y(x) aus?

Y(x) = Yh(x) + Yp1(x)
Y(x) = Yh(x) + Yp1(x) + Yp2(x)
Y(x) = Yh(x) - Yp1(x)
Y(x) = Yh(x) + Yp2(x)

Eine homogene lineare Differentialgleichung...

...besitzt die Steuerfunktion f(x) = 0.
...kann mit dem Verfahren der Trennung der Variablen gelöst werden.
...muss konstante Koeffizienten haben.
...kann nur nach geeigneter Substitution mit der Trennung der Variablen gelöst werden.

Der Ansatz vom Typ der rechten Seite zur Bestimmung einer partikulären Lösung kann nur eingesetzt werden bei linearen Differentialgleichungen mit...

...konstanten Koeffizienten
...konstanter Steuerfunkion
...variabler Steuerfunktion.
...konstanter homogener Lösungsfunktion.

Durch den Vergleich der Koeffizienten entsteht ein Gleichungssystem...

...in welchem die Koeffizienten der linken und rechten Seite gleich gestellt werden.
...in welchem die Koeffizienten der rechten Seite eliminiert werden.
...welches die Lösung der homogenen Differentialgleichung ergibt.
...welches die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ergibt.

Die homogene Lösung Y(x) einer linearen Differentialgleichung besteht aus dem Produkt einer Konstanten und der Funktion e^(-x). Die partikuläre Lösung wird gebildet durch das Produkt einer Konstanten und der Winkelfunktion cos(x). Welche Aussage kann man über die allgemeine Lösung für große Werte von x machen?

Die vollständige Lösung wird durch den partikulären Lösungsanteil dominiert.
Die vollständige Lösung wird durch den homogene Lösungsanteil dominiert.
Es lässt sich keine Aussage darüber machen, welcher Lösungsanteil dominant wird.
Der homogene Lösungsanteil wird gleich Null

Welche Aussagen zum Ansatz des Funktionstypus der rechten Seite sind richtig?

Enthält die Differentialgleichung eine Winkelfunktion werden bei der partikuläre Lösung sowohl der Sinus als auch Cosinus benötigt.
Für die homogene Lösung durch Trennung der Variablen benötigt man eine Exponentialfunktion.
Enthält die Differentialgleichung eine Winkelfunktion werden bei der homogenen Lösung sowohl der Sinus als auch Cosinus benötigt.
Für die inhomogene Lösung durch Trennung der Variablen benötigt man eine Exponentialfunktion.

Was müssen Sie als 2. Schritt bei der dem Verfahren "Variation der Konstanten" beachten?

Aus der Integrationskonstante muss eine unbekannte Funktion C(x) gebildet werden.
Aus der inhomogenen Lösung der Differentialgleichung muss eine Integral gebildet werden.
Aus der homogenen Lösung der Differentialgleichung muss eine Exponentialfunktion gebildet werden.
Keine der Antworten ist richtig.

Die "Variation der Konstanten"...

...kann für alle linearen Differentialgleichungen erster Ordnung angewandt werden.
...kann für lineare Differentialgleichungen mit nicht konstanten Koeffizienten angewandt werden.
...kann für lineare Differentialgleichungen mit einer nicht konstanten Steuerfunktion angewandt werden.
...kann für die linearen Differentialgleichungen, für die der Ansatz vom Typ der rechten Seite nicht gilt, angewandt werden.

Was versteht man unter stetiger Verzinsung?

Die Verzinsung erfolgt in infinitesimal kleinen Zeitabschnitten.
Die Verzinsung erfolgt in kleinen Zeitabschnitten.
Die Verzinsung erfolgt täglich.
Die Verzinsung erfolgt jährlich.

Dozent des Vortrages Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

Dipl.-Met. Rolf Tautkus

Rolf Tautkus studierte Mathematik, Physik und Meteorologie in Karlsruhe und Berlin und schloss sein Studium als Diplom-Meteorologe an der Freien Universität Berlin ab. Anschließend arbeitete er mehrere Jahre als Übungsleiter für Studenten der Meteorologie und war Mitarbeiter bei der täglich erscheinenden Berliner Wetterkarte. Auch im Bereich Printmedien, Rundfunk und Fernsehen sammelte er redaktionelle Erfahrung. Angeregt durch die positiven Erfahrungen als Tutor an der Universität ist er seit vielen Jahren als freier Dozent im Auftrag verschiedener Unternehmen tätig. Dazu gehört insbesondere die Betreuung von Studenten der Wirtschafts- und Ingenieurwissenschaften an der BTU Cottbus und TH Wildau im Fach Mathematik. Seit Herbst 2012 ist er Autor bei Lecturio.

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Auszüge aus dem Begleitmaterial

... Damit erhalten wir Differentialgleichungen der Form Im Allgemeinen liegt eine inhomogene Differentialgleichung vor, das heißt die Steuerfunktion ist nicht identisch gleich Null. Für diese Fälle erhält man die komplette Lösung der Gleichung nach dem Superpositionsprinzip. Dieses Prinzip gilt für lineare Differentialgleichungen erster und höherer Ordnung und besagt, dass die allgemeine Lösung aus der Summe der Lösungfür die zugehörige homogene Differentialgleichung und einer beliebigen speziellen Lösungfür die inhomogene Gleichung dargestellt werden .....

... Beispiel: Man bestimme die allgemeine Lösung der folgenden linearen Differentialgleichung. Ordnung mit konstanten Koefizienten: Bestimmung der homogenen Lösung. Die Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung kann durch die Methode der Trennung der Variablen bestimmt werden und lautet: Bestimmung der speziellen Lösung. Wir machen Gebrauch vom Ansatz des .....

... Zu erwarten ist, dass das Verhalten des Stromkreises durch zwei Prozesse gesteuert wird. Einerseits am Anfang durch das allgemeine Ansteigen der Stromstärke nach dem Einschalten der Spannungsquelle und andererseits durch die Sinusschwingung der Wechselspannung und die Reaktion des Systems darauf. Mathematisch müssen wir jetzt anstatt einer konstanten Spannung eine zeitlich variable Spannung als Steuerfunktion einsetzen. Der zeitliche Verlauf der Wechselspannung wird durch die Sinusfunktion ....

... In die Differentialgleichung eingesetzt und auf der linken Seite nach den Winkelfunktionen geordnet ergibt sich. Auch hier führen ...v

... Wie erwartet ist die Lösungsfunktion für eine Superposition zweier Schwingungsvorgänge und der Exponentialfunktion, die wir bereits von dem Fall des Einschaltvorgangs im Stromkreis kennen. Ursache für den zweiten Schwingungsanteil ist die Spule, die durch ihre physikalischen Eigenschaften einen zweiten Spannungsanteil im Stromkreis induziert, der um D3° zur angelegten Schwingung der Spannungsquelle verschoben ist. In der Differentialgleichung taucht außerdem das Produkt auf. Das ist der induktive Widerstand der Spule, d. h. der Widerstand, den die Spule bei angelegter Wechselspannung entwickelt. Was bedeutet jetzt .....

... für Winkelfunktionen bestimmen. In unserem Beispiel ist und . Daraus berechnen wir .....

... der Konstanten funktioniert immer bei linearen Differentialglechungen der Ordnung, auch bei denen, die mit dem Ansatzverfahren lösbar sind. Man erhält quasi eine Lösungsformel für die Differentialgleichung. Doch muss man dazu sagen, dass dieses Verfahren sehr aufwändig sein kann, weshalb man, wenn irgend möglich, auf das Ansatzverfahren ausweichen sollte. Man beginnt wie beim Ansatzverfahren mit der Bestimmung der Lösung für die zugehörige homogene Differentialgleichung und erhält jetzt wegen der Funktion. Anschließend ersetzt man die .....

... Banken tatsächlich berechnen, wollen wir hier eine stetige Verzinsung des Kredits und eine stetige Abzahlung annehmen und nehmen als Zeiteinheit ein Jahr. Dadurch ergibt sich die folgende Differentialgleichung. Zur Veranschaulichung des Verfahrens soll die Methode der Variation der Konstanten auf das folgende Beispiel .....

... Lösbarkeit des AWP. Die Lipschitzbedingung ist sicher erfüllt, solange wir keinen unendlich hohen Zinssatz zahlen müssen. Denn es gilt für beliebige .Da die Funktion über der gesamten Ebene definiert und stetig ist, ist jedes beliebige AWP in .....

... Wir berechnen die Laufzeit T des Kredits, indem wir obige Formel umstellen ...