Physik für Mediziner: Stoffmenge, Volumen, Strömungen

Mengengrößen

Volumen

Als Volumen bezeichnet man den Inhalt eines dreidimensionalen Raumes. Zu der SI-Einheit m³ ist es auch üblich, Volumenangaben in Litern anzugeben. Die Berechnung des Volumens ist je nach der Form des Körpers sehr unterschiedlich. Verallgemeinert kann man sagen, dass sich das Volumen aus der Grundfläche mal der Höhe des Körpers errechnet.

Beispiel Zylinder: Die Grundfläche des Zylinders ist ein Kreis, welcher sich mit der folgenden Formel berechnen lässt:

Aus der Formel des Volumens (V = A * h) lässt sich folgende Gleichung für einen Zylinder herleiten:

V ⇒ Volumen [m³]

Masse

Die Masse ist eine Eigenschaft von Materie, die sich folgendermaßen gliedern lässt:

• Träge Masse (bewirkt einen Widerstand des Körpers bei einer beschleunigten Bewegung)
• Schwere Masse (gibt an, wie schwer ein Körper ist )

Die Masse kann durch Messen mittels Waagen bestimmt werden. In einigen Beispielen kann man die Masse mit dem Impulserhaltungssatz berechnen. Allerdings gibt es zur Berechnung der Masse zahlreiche Möglichkeiten, die von Fall zu Fall variieren.

m ⇒ Masse [kg]

Teilchenzahl

Die Teilchenzahl entspricht der absoluten Summe von Teilchen in einem System. Sie ist direkt proportional zur Stoffmenge. In makroskopisch kleinen Systemen, in denen die Teilchenanzahl nicht mehr korrekt bestimmt werden kann, greift man auf die Avogadrokonstante zurück, mit der sich die Stoffmenge berechnen lässt:

N ⇒ Teilchenzahl, keine Einheit
N_A ⇒ Avogadrokonstante [1/mol]
n ⇒ Stoffmenge [mol]

Stoffmenge und molare Masse

Die Stoffmenge gibt indirekt Aufschluss über die Teilchenzahl eines Systems. Sie wird in der Einheit mol angegeben. Um für einen Versuch benötigte Massen eines Stoffes herleiten zu können, benötigt man die Molare Masse. Aussagen über die Masse eines an einer Reaktion beteiligten Atoms findet man im Periodensystem der Elemente.

Die Mengen, die während einer Reaktion benötigt werden, lassen sich mit der folgenden Formel berechnen:

n ⇒ Stoffmenge [mol]
M ⇒ Molare Masse [g/mol]

Dichten

Die Masse eines Körpers ist bei gleichen äußeren Bedingungen vom Volumen abhängig. Beide verhalten sich direkt proportional. Diese Proportionalität kann aus dem Quotienten von Masse und Volumen hergeleitet werden, wenn dieser einen konstanten Wert ergibt. Dieser Quotient aus Masse und Volumen ist bei bestimmten Temperaturen und bei konstantem Druck für einen bestimmten Stoff charakteristisch. Er wird als Dichte bezeichnet:

ρ ⇒ Dichte (Massedichte) [kg/cm³]

Die Dichte fester, flüssiger und gasförmiger Stoffe ist temperaturabhängig. Die Dichte gasförmiger Körper ist zudem druckabhängig.

Teilchendichte

Die Teilchendichte ist als Quotient aus der Teilchenzahl und dem Volumen definiert. Die Teilchenzahl gibt hierbei Aufschluss über die Dichte eines Stoffes:

C_i ⇒ Teilchendichte [Teilchen/cm³]
N_i ⇒ Teilchenzahl eines bestimmten Stoffes

Massebezogene Größen

Massebezogene Größen sind Größen, die auf die Masse bezogen sind.

Spezifisches Volumen

Als spezifisches Volumen wird der Kehrwert der Dichte definiert und ist abhängig vom Volumen der Masseeinheit. Es wird mit folgender Gleichung beschrieben:

v ⇒ spezifisches Volumen [m³/kg]

Es wird u. a. zur Erstellung von p-v-Diagrammen in der Thermodynamik verwendet, welche Phasenabläufe beschreiben. So kann ein p-v-Diagramm aussehen:

Spezifische Wärmekapazität

Die Erhöhung der Temperatur eines Körpers bewirkt eine Steigerung der kinetischen Energie seiner kleinsten Teilchen. Eine Erwärmung bedeutet eine Energiezufuhr, eine Abkühlung bedeutet einen Energieentzug. Die Wärme, die ein Körper aufnimmt, ist proportional zur Masse und zur Temperaturänderung des Körpers. Die Proportionalitätskonstante heißt spezifische Wärmekapazität. Sie ist eine Stoffkonstante.

Die spezifische Wärmekapazität, bzw. die Errechnung der Wärme erfolgt mittels folgender Gleichung:

c ⇒ spezifische Wärmekapazität [J/(kg * K]
ΔQ ⇒ abgegebene / aufgenommene Wärme
ΔT ⇒ Temperaturerhöhung / Temperaturabnahme

Stoffgemische

Stoffe kommen in der Natur (also auch im menschlichen Körper) selten als Reinstoffe vor. Stoffe gehen Verbindungen ein, die je nach Verbindung verschiedene Eigenschaften aufweisen. Stoffgemische wie z. B. Cholesterin oder Calciumphosphat-Abscheidungen sind für die Erhöhung des Strömungswiderstandes des Blutes verantwortlich, also für die Arteriosklerose.

Genauso wie sie schädlich sind, können Stoffgemische allerdings auch sehr hilfreich sein, wenn beispielsweise lebenswichtiges Eisen in Form von Ferritin-Kristallen in der Leber gebildet, gespeichert und bei Bedarf freigegeben werden.

Molenbruch

Der Molenbruch ist der Stoffmengenanteil und bezieht sich auf die Molanteile in einem Gas- oder Flüssigkeitsgemisch.

Massenanteil

Ein Massenanteil ist der prozentuale Anteil eines gelösten Stoffes im Verhältnis zur Gesamtmasse der Lösung.

Aggregatzustände

Die Aggregatzustände beschreiben die physikalischen Zustände eines Stoffes und sind abhängig von der Temperatur und dem Druck. Man unterscheidet drei Formen:

• Fest: eine feste Anordnung und Bindung der Atome
• Flüssig: Die Atome sind beweglich und ungeordnet.
• Gasförmig: Es existiert fast keine Bindung mehr zwischen den Atomen.

Strömungen von Flüssigkeiten und Gasen

Bei Blutdruckmessungen wird der Staudruck im Blut gemessen. Ist dieser zu hoch, so kann er durch eine höhere Strömungsgeschwindigkeit erniedrigt werden. Dazu muss der Volumenfluss erhöht oder der Strömungswiderstand gesenkt werden.

Die exspiratorische Luft muss durch eine Verengung in den Stimmbändern – der sogenannten Glottis. Wie hoch der Strömungswiderstand oder der Volumenstrom sein müssen, um die Glottis zu öffnen bzw. zu schließen, wie die genannten Größen zusammenhängen und was die Bernoullische Gleichung aussagt, lehrt die Strömungslehre.

Strömungsfelder

Die Strömung von idealen Flüssigkeiten und Gasen wird mit Flusslinien dargestellt. Die Flusslinien werden umso dichter dargestellt, je höher die Strömungsgeschwindigkeit ist. Man unterscheidet zwei Formen der Strömung:

1. Laminare Strömung: Trotz Hindernisse oder Verengungen reißen die Linien nicht ab, sondern verlaufen weiterhin kontinuierlich
2. Turbulente Strömung: Es treten Verwirbelungen an Hindernissen oder Verengungen auf.

Strömungswiderstand und Gesetz von Hagen-Poiseuille

Wird ein Körper in ein Fluid gestellt, so erfährt er eine Kraft, die sich in vielen Fällen proportional zur Dichte des Fluids, zum Quadrat der Strömungsgeschwindigkeit und zur Querschnittsfläche erweist.

Newtons Gesetz besagt, dass jeder Kraft eine gleichgroße Kraft entgegenwirkt (Newtonsches Wechselwirkungsprinzip). Diese entgegenwirkende Kraft wird als Widerstand des Körpers bezeichnet. Diese ist abhängig von der Viskosität, inneren Reibung und Hindernissen in der Strömung.

Der Strömungswiderstand wird mit dem Gesetz von Hagen-Poiseuille berechnet:

η ⇒ Viskosität des Fluids [(n*s) / m²]
Δl ⇒ Länge der Strömung / Länge des Rohres [m]
A ⇒ Querschnitt [m²]

Volumenstromstärke

Die Volumenstromstärke gibt an, wie viel Volumen pro Zeiteinheit durch einen Querschnitt fließt. Sie ist mit der folgenden Gleichung definiert:

V ⇒ Volumenstromstärke [m³/s]

Kontinuitätsgleichung

Bei laminarer Strömung bleibt die Zahl der Flusslinien konstant. Wird der Querschnitt des Rohres kleiner, verdichten sich die Flusslinien, d. h. die Strömungsgeschwindigkeit nimmt zu.

Je kleiner die Querschnittsfläche, desto größer ist die Strömungsgeschwindigkeit, da die Volumenstromstärke konstant bleibt.

Die Strömungsgeschwindigkeiten verhalten sich also umgekehrt wie die Röhrenquerschnitte, sie sind indirekt proportional.

Gleichung nach Bernoullie

Strömt eine Flüssigkeit mit einer bestimmten Dichte horizontal durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt, so ist bei vernachlässigbarer Reibung der Gesamtdruck an allen Stellen des Rohres gleich:

Für Rohrführungen mit einer Neigung gilt: Die Summe aus dem statischen Druck, dem Schweredruck und dem dynamischen Druck ist an jeder Stelle einer Stromlinie konstant.

Ohmsches Gesetz für reale Flüssigkeiten

Reale Flüssigkeiten erleiden im Gegensatz zu idealen Flüssigkeiten einen Druckabfall durch innere Reibung oder durch Viskosität. Reibung erzeugt immer einen Verlust an kinetischer Energie, was dazu führt, dass die Flüssigkeit an den Wänden des Rohres haften bleibt.

Deshalb fließt ein Fluid „außen“ an den Rändern auch langsamer. Im Vergleich dazu ist die Strömungsgeschwindigkeit in der Mitte der Strömung höher. Der grafische Verlauf einer solchen Flüssigkeit ist ähnlich einer Parabel:

Das Maximum des parabolischen Verlaufs der Strömungsgeschwindigkeit befindet sich im Zentrum. Flüssigkeiten, die einen solchen grafischen Verlauf beim Fließen in zylindrischen Rohren aufweisen, werden als Newtonsche Flüssigkeiten bezeichnet. Für solche Fluide gilt das Ohmsche Gesetz:

Zwischen der Volumenstärke und Druckdifferenz besteht eine lineare Beziehung.

Reihenschaltung von Strömungswiderständen

Wie eben beschrieben, fällt der Druck in realen Flüssigkeiten, er nimmt also mit der Länge des Rohres ab und ist zudem abhängig vom Querschnitt des Rohres. Aufeinanderfolgende Widerstände verhalten sich wie die Widerstände in einem elektrischen System und werden somit addiert.

Kichhoffsche Gesetze

Rohre, durch die Fluide fließen, können unterschiedlich miteinander verknüpft werden:

• Hintereinander, d. h. in Reihe, schalten. Die Widerstände werden miteinander addiert.
• Verzweigungen: An jedem Verzweigungsknoten ist die Summe der Ströme konstant oder anders formuliert muss die Summe der einströmenden Flüssigkeit genauso groß sein wie die Summe der ausströmenden Flüssigkeit.

Beliebte Prüfungsfragen zur Mechanik

Die Lösungen befinden sich unterhalb der Quellenangaben.

1. Wie groß etwa ist der Schwerdruck einer ein Meter hohen Wassersäule?

1. 10⁴ hPa
2. 10³ hPa
3. 10² hPa
4. 10 hPa
5. 1 hPa

2. Eine Flüssigkeit strömt unter Gültigkeit des Hagen-Poiseuille Gesetzes durch eine Kapillare. Wann wird die Stromstärke doppelt so groß?

1. Wenn man eine Kapillare mit dem doppelten Durchmesser wählt.
2. Wenn man eine Kapillare mit dem vierfachen Querschnitt wählt.
3. Wenn man eine Flüssigkeit mit der doppelten dynamischen Viskosität wählt.
4. Wenn man die Druckdifferenz zwischen den Enden der Kapillare verdoppelt.
5. Wenn man eine Kapillare mit doppelter Länge benutzt.

3. Ordnen Sie der Größe „Druck“ die entsprechende Einheit zu!

1. kg * m/s²
2. kg * m²/s²
3. kg / (m + s²)
4. kg * m²/s³
5. kg * m²/s

4. Durch zwei Rohre wird Wasser gepumpt. Die Rohre haben folgende Maße: Rohr 1: Länge l₁ = 2m, Radius r₁ = 2cm; Rohr 2: Länge l₂ = 1m, Radius r₂ = 1cm. Der Druckabfall sei an beiden Enden derselbe, die Strömung sei laminar. In welchem Verhältnis stehen die Volumenstromstärken v1 und v2?

1. v1 : v2 = 1 : 1
2. v1 : v2 = 2 : 1
3. v1 : v2 = 4 : 1
4. v1 : v2 = 8 : 1
5. v1 .: v2 = 16 : 1

Quellen

Heinz Gascha, Physik – Formeln & Gesetze; Taschenbuch-Verlag, O.J.

O. Romberg, N. Hinrichs; Keine Panik vor Mechanik!; Vieweg+Teubner-Verlag, 2011

Harten; Physik für Mediziner; Springer-Verlag, 2014

Lösungen zu den Fragen:

• 1C: Eine Wassersäule von einem Meter entspricht ca. einem atmosphärischen Druck von 1000 mbar = 1000 hPa.
• 2D: Verdopplung des Durchmessers → 16-fache Stromstärke → 4-fache Querschnittsfläche
• 3C: Der Druck ist die Kraft pro Fläche.
• 4D: Das Gesetz von Hagen-Poiseuille

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